第三章 PZT材料的逆压电效应的有限元分析

PZT材料的逆压电效应的有限元分析3.1有限元法理论有限元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。作为计算机的数值分析方法，在各个领域得到了广泛的应用。它的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的待求物理量可由单元节点物理量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程“装配”在一起而形成总体代数方程组，加入边界条件后即可对方程组求解。由有限元的发展，该方法具有下列特色：1、整个系统离散为有限个元素。2、利用能量最低原理（MinimumPotentialEnergyTheory）与泛函数值定理（StationaryFunctionalTheory）转换成一组线性联立方程组。3、处理过程简明。4、整个区域作离散处理，需庞大的资料输出空间与计算机内存，解题耗时。5、线性、非线性均适用。6、无限区域的问题较难仿真。3.1.1有限单元法的基本原理和基本思路有限单元法的基本原理和基本思路以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点处联结而组成整体。把连续体分成有限个单元和节点的过程，称之为离散化。先对单元特性进行分析，然后根据各单元在节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后作整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂的结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。其具体做法如下：1、结构离散化将某个工程结构离散为各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用节点相互联结起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况,单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元法中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的众多单元以一定方式联结成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。2、单元特性分析1）选择位移模式在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，在有限元法中我们将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数，如∑，其中是待定系数，是与坐标有关的某种函数。2）分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。3）计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。3、单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程{P}=[k]{δ}（3－1）式中，{P}是载荷向量；[k]是整体结构的刚度矩阵；{δ}是节点位移向量。4、求解未知节点位移解有限元方程式（3－1）得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。5、计算应力根据位移函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可计算出应变为：{ε}=[B]{δ}e（3－2）式中，{ε}为应变向量；[B]为应变矩阵；{δ}e为单元节点位移向量。则应力的计算方法为：{σ}=[D]{ε}=[D][B]{δ}e（3－3）式中，{σ}为应力向量；[D]为弹性矩阵。通过上述分析，可以看出，有限元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。3.1.2有限元分析流程图3－1为有限元分析的流程图，一般完整的有限元程序包含前处理（Preprocessing）、解题程序（Solution）和后置处理（Postprocessing）。现将三部分的内容叙述如下：一、前置处理1.建立有限元素模型所需输入的资料，如节点、坐标资料、元素内节点排列次序。2.材料特性。3.元素切割的产生。4.边界条件。5.负载条件。二、解题程序1.元素刚度矩阵计算［K］。2.系统外力向量组合｛F｝。3.线性代数方程［K］｛U｝＝｛F｝的求解。4.通过资料反算法求应力、应变、反作用力等。三、后置处理将解题部分所得的解答如：变位、应力、反力等资料，通过图形接口以各种不同表示方式把等位移图、等应力图显示出来。图3－1有限元分析的流程图3.2PZT材料有限元模型的建立方法PZT材料有限元分析的第一步是建立有限元模型，即将压电体离散化为有限元计算模型。只有建立一个好的有限元模型，才能准确地反映出压电体的各种特性，才能用于指导作动器结构设计。由于各有限元分析软件都有各自的单元库及模型参数，因此在建立有限元模型之前，必须明确要用何种软件进行分析计算。目前，国际上著名的大型有限元通用软件有：ANSYS、NASTRAN、ASKA、ADINA、SAP等，它们多采用FORTRAN编写，规模达几万条甚至几十万条语句，其功能越来越完善，不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有功能强大的前处理和后处理程序。本文中所进行的有限元分析都是基于ANSYS软件平台上的。ANSYS软件是由美国ANSYS公司于七十年代初开发成功的有限元分析软件。它的早期版本只有线性结构分析及热分析功能，且只能在大型计算机上运行。后来，ANSYS软件中融入了新的技术及用户的要求，从而使程序发生了很大变化，非线性、子结构以及更多的单元类型被加入了程序。70年代末，交互式的加入是该程序最为显著的变化，它大大地简化了模型生成和结果评价（前处理和后处理）。在进行分析之前，可用交互式图形来验证模型的几何形状、材料及边界条件；在分析完成之后计算结果的图形显示立即可用于分析检验。现在，ANSYS软件已成为融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于交通、航空航天、石油化工、土木工程、生物医学、地质能源、日用家电等工业领域及科学研究领域。目前该软件可在大多数计算机及操作系统中运行，从PC机到工作站直至巨型计算机，ANSYS软件在其所有产品系列和工作平台上均兼容。压电体是结构场和电场的耦合，这是石英或陶瓷类材料的固有特性。在ANSYS软件中提供了三种单元可进行压电体的耦合场分析：PLANE13、SOLID5、SOLID98，本论文将采用SOLID5单元进行分析。SOLID5单元有八个节点，每个节点都有六个自由度，如图3－2所示。根据图3－2，设单元节点的位移列阵为：