发展逆向思维

发展逆向思维巧寻解题策略——用倒推法解决实际问题江苏省宜兴市杨巷小学丁浩清例1：准备在一条河里放养鳄鱼，已知鳄鱼总数的一半再加1条放养在河的中游，剩下的一半加1条放养在河的下游，最后所剩下的一半加3条放养在河的上游。这样恰好把鳄鱼分完。请你算一算一共有多少条鳄鱼？【分析：第一次是把鳄鱼总数的一半再加`条放养在河的中游，第二次是把剩下的一半加1条放养在河的下游，第三次是把最后所剩下的一半加3条放养在河的上游，这样恰好把鳄鱼分完。用倒推法我们从第三次开始考虑，第三次是把最后剩下的一半加3条放养在河的上游，正好分完，说明最后剩下的一半就是3条，也就是说上游放养了3加3等于6条鳄鱼；我们已知上游有6条鳄鱼，第二次分是剩下的一半多1条，即上游的6条是剩下的一半少1条，所以上、下游共有鳄鱼：（6＋1）×2=14（条），上、下游共有14条，下游有：14－6=8（条）；再看第一次分的，第一次分的是总数的一半加1条，剩下14条，也就是总数的一半少1条，总数是：（14＋1）×2=30（条），中游有：30÷2＋1=16（条）答：一共有30条鳄鱼。】例2：某厂甲、乙两个车间共有工人260人，如果甲车间调出60人，乙车间调入50人，那么乙车间的人数比甲车间的12多4人，原来甲车间有多少人？【分析：如果这道题只考虑甲、乙车间的人数变化和甲、乙车间的人数关系，那这道题会变得相当复杂。解答这题的关键是抓住总人数的变化，由条件可知，甲、乙车间人数调整后共有工人：260－60＋50=250（人），这时乙车间人数比甲车间的12多4人，也就是说，甲车间人数＋甲车间人数×12＋4=250（人），250－4=246（人），就是甲车间的（1＋12），所以本题的解答为：甲车间现有164人，原有为：164＋60=224（人）。列式为：（250－4）÷（1＋12）=246÷32答：原来甲车间有224人。】例3：一堆黄沙，第一次用去总吨数的一半多3吨，第二次用去余下的一半少10吨，第三次用去15吨，最后还剩7吨。这堆黄沙原来有多少吨？【分析：这道题可以从最后的结果7吨，逐步逆推。看下面的线段示意图：？吨总吨数的一半3吨余下的一半10吨15吨7吨由上图可知，余下的一半为：15＋7－10=12（吨），余下的为：12×2=24（吨），总吨数的一半为：24＋3=27（吨），总吨数为：27×2=54（吨）】例4：张大爷提篮去卖鸡蛋，第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个。这时，鸡蛋都卖完了。张大爷篮中原有鸡蛋多少个？【分析：最后篮内鸡蛋的个数为0个。第三次卖蛋后余下的鸡蛋个数：（0＋12）×2=1（个），第二次卖蛋后余下的鸡蛋个数：（1＋12）×2=3（个），第一次卖蛋后余下的鸡蛋个数：（3＋12）×2=7（个），原来鸡蛋的个数：（7＋12）×2=15（个）。答：张大爷篮中原有鸡蛋15个。】【总结：有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的要求一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐，解题时，我们就可以从这最后的结果出发，运用加、减与乘、除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，追根溯源，靠近所求，这种思考问题的方法叫倒推法或还原法。平时处理一些问题时会经常用到，有些题目正向去解决比较困难，或者会出现一些复杂的运算，如反向倒推过去，使一些问题简单化，反而易于解决问题。应用题中有的题目数量关系复杂，我们还可以根据题意画示意图进行倒推来帮助理解，寻求解决问题的策略。】1、猴子吃桃：3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了13，第二只猴子吃了剩下的13，第三只猴子吃了第二天剩下的14，最后篮里还剩下6只桃子。篮里原有桃子多少只？2、义务劳动：若干名少先队员参加学校义务劳动，其中37的队员打扫礼堂，剩下的队员中38的队员打扫操场，再剩下的14打扫教室，其余的15名负责打扫室外四周空地，有多少名少先队员参加学校义务劳动？3、鲸鱼多重：一条鲸鱼今年有8.45吨，去年比前年增加了310，今年又比去年增加了310，前年有多重呢？4、储备粮食：仓库存粮若干吨，第一次运出总数的12又4吨，第二次运出余下的12又3吨，第三次运出又余下的12又5吨，最后还剩12吨。这个仓库存粮多少吨？5、大鱼重量：把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重4千克，鱼头的重量等于鱼尾的重量加上鱼身一半的重量，而鱼身的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条大鱼重多少千克鱼？7、零件总数：新光机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的15，乙车间加工余下的14，丙车间加工再余下的25，还剩下3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？8、有人问猴子：“你今年几岁了？”小猴子调皮地回答：“用我的年龄减去8，再乘7，加上6后，除以5，正好等于4。请你算算我今年几岁了？”作者简介：丁浩清，小学高级教师，宜兴市数学学科带头人，多次主持或参与省、市级课题的研究，近5年在省级及全国核心期刊上共发表50多篇教育教学论文，获奖20多篇。邮箱：[e-mail]此文发表在2008年10月31日《小学生数学报》上。