1-场论与张量基本知识

高等流体力学1场论与张量基本知识1场的定义及分类一般情况下流体的各种物理量(如温度、压力和速度等)是沿空间变化的，用场论的符号和方法描述这些变化有很大的优点：形式简洁；与坐标系无关；每一符号都有明确的物理内涵。（1）标量、向量与张量标量：是一维的量，它只需一个数量及单位来表示，它独立于坐标系的选择。流体的温度、密度、浓度等均是标量。只有大小，没有方向（1）标量、向量与张量向量：是三维的量，它不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示，与坐标系的选择密切相关。流体质点的空间位置向量x＝x1i＋x2j＋x3k流体质点的流速向量u＝u1i＋u2j＋u3k(i、j、k是三个坐标方向的单位向量)（1）标量、向量与张量讨论力学问题时，仅有标量和矢量概念是不够的，许多物理量已经超出矢量范围，有的是为描述介质的物理性质而引进，有的是分析某物理量的空间分布而引进。例如：应力，非标量和矢量所能描述jixv（1）标量、向量与张量张量：三维空间中的二阶张量是一个九维的量，必须用9个分量才能完整地表示一个二阶张量。流体力学中常用的二阶张量：应力张量、变形速率张量等。若以r表示维度，n表示幂次，物理量的分量个数可统一表示成在三维空间中，r=3,n阶张量由3n个分量组成。nr（1）标量、向量与张量n=0,30=1,只有一个分量（或者无分量，或者分量就是其本身），一般标量，0阶n=1,31=3,有三个分量，一般矢量，1阶n=2,32=9,有九个分量，例如应力，2阶n=3,33=27,有27个分量，例如应力场梯度，3阶n=4,34=81,有81个分量，例如弹性模量、粘性系数，4阶为了便于讨论，令n为物理量阶次，并统一称这些物理量为张量需要指出的是：二阶以上的张量已不可能象矢量那样有明显的几何意义，但作为物理恒量，仍可象矢量那样，以分量间的变换关系来解析其意义（2）场在空间中的某个区域内的每一点都对应着某物理量的一个确定的值，则称在这个空间区域上确定了该物理量的一个场。标量场：空间区域D的每一点M(x,y,z)都对应于一个数量值(x,y,z)，就称它们在此空间区域D上构成一个标量场。例如：温度场T(x,y,z)、密度场ρ(x,y,z)等都是标量场。（2）场向量场：空间区域D的每一点M(x,y,z)都对应于一个向量值A(x,y,z)，就称它们在此空间区域D上构成一个向量场。例如：速度场u(x,y,z)、加速度场a(x,y,z)等都是向量场。张量场：空间区域D的每一点M(x,y,z)都对应于一个张量值B(x,y,z)，就称它们在此空间区域D上构成一个张量场。例如：应力场T(x,y,z)、变形速率场D(x,y,z)等都是张量场。（2）场在数学上研究的场对应在流体力学中称为流场：描述流体流动的各种标量场、向量场及张量场的总和。流场可以分为定常场：场内物理量不依赖于时间，即不随时间改变的场。非定常场：均匀场：同一时刻场内各点物理量的值都相等。不均匀场：还可以分为2矢量矢量的表示方法大小——模，A，方向——有向箭头只有因次相同的矢量才能进行比较只有大小方向均相同，才认为两矢量相等模为0时，A﹦0，零矢量，方向任意模为1时，A﹦1，单位矢量，以模表示其大小，单位矢量表示其方向，矢量可写成aAaAA矢量的分类固定矢量——作用点有固定位置，例如作用在气体微团上的力，滑移矢量——作用点沿矢量方向任意移动而不改变问题性质，例如刚体受力分析自由矢量——作用点可以任意选择，一般性讨论，采用自由矢量（3）矢量的代数运算1）矢量的加减（a）矢量的加法bac平行四边形法则性质：满足交换律：满足结合律：abba)()(cbacba（b）减法为加法的逆运算)(baba（3）矢量的代数运算若从矢量中减去矢量，则可将矢量加上一个与矢量大小相等方向相反的矢量aabb)(b（c）、几何意义在以矢量、为邻边所做的平行四边形中，其中一条对角线代表矢量、之和，另一条对角线代表矢量、之差aaabbb2)、矢量的分解和投影（a）矢量的分解共线矢量——两个矢量、在同一条直线上，称为共线矢量ab对于共线矢量，可写成：amb（m不为零）m0，、矢量同向；m0，、矢量反向；当为单位矢量时，上式即为矢量的表达式aabbab（3）矢量的代数运算共面矢量——三个矢量、、在同一平面内，则称为共面矢量对于共面矢量，可写成：（、不共线）反之，所有与不共线矢量、共面的矢量均可用上式表示上式可看成在、方向上的唯一分解式（3）矢量的代数运算abcbnamcabaabbc若三个矢量、、不共面，则任一矢量可表示为：上式可看成在、、方向上的唯一分解式若、、为单位矢量，、、，则上式各项称为矢量的可分解分量若、、正交，则上式各项称为矢量的投影分量若为零矢量，，则矢量、、共面，退化为：abcdcpbnamddabcabc1ua2ub3uc321upunumddddabc1u2u3u0cpbnamdbnamc（3）矢量的代数运算（b）矢量的投影矢量在轴上的投影al设有一矢量及轴，过矢量的两个端点A、B分别作平面垂直于轴，与轴交于A’、B’，则称轴内有向线段的值，为矢量在轴上的投影。alallBABAalBAalBAaprj或关于矢量的投影有下列基本定理矢量在轴上的投影等于矢量的模与矢量及轴间夹角余弦的乘积cos||aaprjalaal（3）矢量的代数运算矢量和在任何轴上的投影等于各项矢量在同轴上的投影之和cpbpapcbaprjrjrjrj)(三维笛卡尔坐标系中，任一矢量可写为akajaiaazyx其中，zyxaaa,,——矢量在坐标轴x,y,z上的投影a上述表达式称为矢量的投影式a若已知两个矢量kajaiaazyxkbjbibbzyx由投影基本定理zzzyyyxxxbabababababa)(,)(,)(因此kbajbaibabazzyyxx)()()(（3）矢量的代数运算一矢量对另一矢量的投影设矢量在矢量方向上的投影为，则abba),cos(cosbaaaab再假定分别为矢量的投影分量，由于三个投影分量可取代矢量，矢量在方向上的投影等于三个分量在方向上的投影之和332211,,uauauaaaabb),cos(),cos(),cos(),cos(332211buabuabuabaaab两端同除以a),cos(),cos(),cos(),cos(332211buaabuaabuaaba),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(332211buaubuaubuauba（3）矢量的代数运算3)、矢量的点积（标积）和叉积（矢积）（a）、矢量与数量的乘积设数量m，矢量，则乘积m为矢量，aa模——||||am方向——m0，与同向；m0，与反向；m=0，方向任意aa（3）矢量的代数运算（b）、矢量的点积（数性积、标量积）),cos(cosbaababba两矢量的点积是一个标量，其正负由两矢量夹角确定且同向，，，为正ba//0),(baabba2),(ba，，，为负且反向，，ba2),(ba0ba2),(baba//),(baabba性质：满足交换律：满足分配律：abbacabacba)(（3）矢量的代数运算对于正交单位矢量、、1u2u3u1332211uuuuuu0133221uuuuuu对于斜交单位矢量、、1l2l3l111ll),cos(2121llll投影展开式332211332211332211][][bababaubububuauauaba由定义式232221232221332211cosbbbaaabababaabba（3）矢量的代数运算（c）、矢量的叉积（矢性积、矢量积）bac两矢量的叉积是一个矢量模：),sin(baab——以为棱边的平行四边形面积ba,方向：垂直于所在平面，右手螺旋（到最短路径旋转）ba,abba//，由于0),sin(ba，0baba，由于1),sin(ba，abba||性质：不满足交换律满足分配律abbacabacba)(（3）矢量的代数运算1u2u3u对于斜交单位矢量、、1l2l3l对于正交单位矢量、、0332211uuuuuu213132321,,uuuuuuuuu0332211llllll),sin(21321lllll),(213lll，投影展开式321321321312212311312332123213132312231321332211332211)()()(][][bbbaaauuuubabaubabaubabaubaubaubaubaubaubaubububuauauaba（3）矢量的代数运算（d）、数性二重积（混合积、二重积）)(cba数性二重积是一个标量cbd，其模为以为棱边的平行四边形面积——底面积cb,),cos(daadda),cos(daa，为矢量在上的投影——高以为棱边的平行六面体体积cba,,ad三矢量共面时，0)(cba，夹角2三矢量中任意两个相等或共线时，0)(cbacb,，0cb，底面积为零ba,，在所在平面内，高为零acb,（3）矢量的代数运算互相正交，正六面体，cba,,abccba)(互相斜交，cba,,cossin)(abccba)()()()()()(abccabbcabacacbcba1u2u3u对于斜交单位矢量、、1l2l3l对于正交单位矢量、、投影展开式1)(,1)(,1)(213132321uuuuuuuuu1)(,1)(,1)(123312231uuuuuuuuucossin)(321lll321321321123213312132231321312212311312332332211])()()[(][)(cccbbbaaacbacbacbacbacbacbaucbcbucbcbucbcbuauauacba（3）矢量的代数运算（e）、矢性二重积（二重矢积）)(cba矢性二重积是一个矢量a，垂直于的平面内)(cb，为垂直于所在平面的矢量，与此矢量垂直，必在所在平面内)(cbcb,cb,上述两平面交线投影展开式332211312212311312332332211)]([)]([)]([])