直线与平面垂直练习题

1课时跟踪检测（十二）直线与平面垂直层级一学业水平达标1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α解析：选D由线线平行及线面垂直的判定定理的推论1知选项D正确．故选D.2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析：选C取BD的中点E，连接AE，CE.则BD⊥AE，BD⊥CE，又AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC.∵AC⊂平面AEC，∴AC⊥BD.观察图形可知AC与BD不相交．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是()A.5B．25C．35D．45解析：选D如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥△ABC，∴PA⊥BC.又PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.2在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝82＋42＝45.6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7．长方体ABCD­A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是________．解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1，又∵MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.又∵MN⊥BC，AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.答案：平行8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．答案：菱形9.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.证明：在平面B1BCC1中，∵E，F分别是B1C1，B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF.∵AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.10.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，3∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.层级二应试能力达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选BA中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.2．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是()A．PEPGPFB．PGPFPEC．PEPFPGD．PFPEPG解析：选C由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PFPE，∴有PGPFPE.3．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解析：选A由PA，PB，PC两两垂直可得PA⊥平面PBC；PB⊥平面PAC；PC⊥平面PAB所以PA⊥BC；PB⊥AC；PC⊥AB，①②③正确．④错4误．因为若AB⊥BC，则由PA⊥平面PBC得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PC⊥平面PAB，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾．4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1解析：选D在正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1，可易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M.∴∠C1MN＝90°.答案：90°6.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．答案：47.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)5连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，∴ON綊12CD綊12AB.∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形．∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB.∴M是AB的中点．8．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．6又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.