直线与方程专题复习(教师)

1直线与方程专题复习一、知识归类1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是（)900.（2）直线倾斜角的范围是.（3）直线过))(,(),,(21222111xxyxPyxP两点的斜率公式为：k.2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,ll，其斜率分别为21,kk，，则有：21//ll；21ll.（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线.3.直线方程的几种形式名称方程形式适用条件点斜式不表示的直线斜截式不表示的直线两点式不表示的直线截距式不表示和的直线一般式)0(022BAcByAx注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.4.几个距离公式（1）两点),(),,(222111yxPyxP之间的距离公式是：||21PP.（2）点),(00yxP到直线0:cByAxl的距离公式是：d.（3）两条平行线0:,0:21cByAxlcByAxl间的距离公式是：d.二、典型例题题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(CBA.（1）求直线ACBCAB、、的斜率和倾斜角.（2）若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.2变式训练1、直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.π6，π2∪π2，5π6B.0，π6∪5π6，πC.0，5π6D.π6，5π62、直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是()A．－1＜k＜15B．k＞1或k＜12C．k＞15或k＜1D．k＞12或k＜－1本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点由与x轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.题型二：直线的平行与垂直问题例2已知直线l的方程为01243yx，求下列直线l的方程,l满足（1）过点)3,1(，且与l平行；（2）过)3,1(，且与l垂直.变式训练1、已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为()A．0或3或－1B．0或3C．3或－1D．0或－12、已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8本题小结：与直线0CByAx平行的直线方程可设为01CByAx，再由其他条件列方程求出1C；与直线0CByAx垂直的直线方程可设为02CAyBx，再由其他条件求出2C.题型三：直线的交点、距离问题例3已知直线l经过点A)4,2(,且被平行直线01:01:21yxlyxl与所截得的线段的中点M在直线03yx上，求直线l的方程.变式训练、已知点P(2，－1)，试求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出原点到直线的最大距离．3本题小结：解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程.题型四：直线方程的应用例4已知直线0355:ayaxl.（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.变式训练、已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程(1)证明直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由2x＋y＋1＝0，x＋y－1＝0，得x＝－2，y＝3，∴直线l恒过定点(－2，3)．(2)设直线l恒过定点A(－2，3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率kPA＝4－33＋2＝15，∴直线l的斜率kl＝－5.故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.本题小结：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点.【检测反馈】1.若直线过点),32,4(),2,1(则此直线的倾斜角是（）.（A）030（B）045（C）060（D）0902.过点)1,1(E和)0,1(F的直线与过点)0,2(kM和点)4,0(kN直线的位置关系是（）（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合3.过点)3,1(且垂直于直线032yx的直线方程为（）.(A)012yx(B)052yx(C)052yx(D)072yx4.已知点),1,3(),2,1(BA则到BA,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（）.（A）524yx（B）524yx（C）52yx（D）52yx5.直线),0,0(0:,0:21babaaybxlbyaxl在同一直角坐标系中的图形大致是（）.AOOxy1l2l2l1lxyBOxy1l2lCyxO2l1lD46.直线l被两直线0653:,064:21yxlyxl截得线段的中点是原点O，则直线l的方程为.7.已知,0a若平面内三点),3(),,2(),,1(32aCaBaA共线，则a=.8.过点),4,1(A且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（）.（A）1条(B)2条(C)3条(D)4条9.已知直线l过点)1,1(P，且被平行直线01343yx与0743yx截得的线段长为24，求直线l的方程.﹡﹡10、在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大．解：设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即b－4a·3＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，即2x＋y－9＝0.解3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5，即l与AB′的交点坐标为P(2，5)．总结、反思：