专升本高数二重积分

第十二讲二重积分•本讲出题在7分—13分之间，二重积分的计算是建立在定积分计算基础上的，关键是如何准确转化为累次积分，特别是计算题，一定按步骤完成。•本讲重点：（1）二重积分性质和几何意义、对称区间上性质的应用。（2）直角坐标系下二重积分的计算。（3）极坐标系下二重积分的计算。（4）直角坐标系下两种积分次序的交换。•本讲难点：准确画出积分区域，并确定累次积分的内外层积分限。考试点津：2010年26．累次积分222202d(,)dxxxxxfxyy写成另一种次序的积分是A．10d(,)dyyyfxyxB．222202d(,)dyyyyyfxyxC．221111d(,)dyyyfxyxD．22111111d(,)dyyyfxyx27．设{(,)|Dxyx≤2,y≤2}，则DyxddA．2B．16C．12D．448．计算二重积分22dDxy，其中D是由圆223xy所围成的闭区域．2011年12.1二重积分的概念与计算12.1.1二重积分的概念与性质12.1.2在直角坐标系下计算二重积分12.1.3在极坐标系下计算二重积分12.1.4内容小结12.1.1二重积分的概念与性质1．引例：曲顶柱体的体积曲顶柱体：是指底是xOy平面上的闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线，而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面(,)zfxy，称这个立体为曲顶柱体．当(,)0fxy时该曲顶柱体的体积如图12.1-1．2．二重积分的概念定义设(,)fxy是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域1，2，…，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积．在每个i上任取一点(,)ii，作乘积(,)iiif（i=1,2,…，n）并作和1(,)niiiif．如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数(,)fxy在闭区域D上的二重积分，记作(,)dDfxy，即01(,)dlim(,)niiiiDfxyf性质1常数因子可提到积分号外面，即(,)d(,)dDDkfxykfxy．性质2函数和与差的积分等于各函数积分的和与差，即[(,)(,)]d(,)d(,)dDDDfxygxyfxygxy．性质3若积分区域D分割为1D与2D两部分，则有12(,)d(,)d(,)dDDDfxyfxyfxy性质4(中值定理)设(,)fxy在有界闭区域D上连续，是区域D的面积，则在D上至少有一点()使得下式成立(,)d(,)dDfxyf3．二重积分的性质12.1.2在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系中，采用平行于x轴和y轴的直线把区域D分成许多小矩形，于是面积元素dddxy，二重积分可以写成(,)ddDfxyxy．化二重积分为二次积分的方法:1.设D可表示为不等式(如图12.1-2)12()()yxyyx，axb．则21()()(,)ddd(,)dyxbyxaDfxyxyxfxyy．(1)y=y2(x)yxbxaoDy=y1(x)图12.1-2图12.1-3说明：公式(1)就是二重积分化为二次定积分的计算方法，该方法也称为累次积分法．计算第一次积分时，视x为常量，对变量y由下限1()yx积到上限2()yx，这时计算结果是一个关于x的函数，计算第二次积分时，x是积分变量，积分限是常数，计算结果是一个定值．2．设积分区域D可表示为不等式(如图12.1-3)12()()xyxxy，cyd，则(,)ddDfxyxy21()()d(,)ddxycxyyfxyx(2)注意：化二重积分为累次积分时，需注意以下几点：（１）累次积分的下限必须小于上限；（２）用公式(1)或(2)时，要求D分别满足：平行于y轴或x轴的直线与D的边界相交不多于两点,如果D不满足这个条件，则需把D分割成几块．然后分块计算；（３）正确选择积分次序．（４）外层积分的上、下限必须是常数．若内层是关于x的积分，其上、下限或为常数，或是含y的表示式，反之也一样．例1计算22ddDxyxy，其中D由抛物线2yx及直线2yx所围成．解作D的图形(如图12.1-４)．选择先对x积分，这时D的表示式为22,12,yxyy从而22ddDxyxy22221d2dyyyxyx222221()|dyyyxy243261(44)dyyyyyyx2-10DA(1,-1)B(4,2)x=y+2x=y2图12.1-4分析：本题也可先对y积分后对x积分，但是这时就必须用直线1x将D分成1D和2D两块如图(12.1-５)，其中1,:01,xyxDx22,:14,xyxDx由此得122222dd2dd2ddDDDxyxyxyxyxyxy142201d2dd2dxxxxxxyyxxyy，可以看出此种方法要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤．257431461553735yyyy如图12.1-６，如果r和很小，小区域近似于以r和r为边的矩形，所以在极坐标系下的面积元素为dddrr，再分别用cosxr，sinyy代换被积函数(,)fxy中的x，y，这样二重积分在极坐标系下表达式为(,)d(cos,sin)ddDDfxyfrrrr极坐标系下二重积分计算：实际计算时，与直角坐标系下情况类似，还是化成累次积分来进行.设D(如图12.1-７)12.1.3在极坐标系下计算二重积分位于两条射线和之间，D的两段边界线极坐标方程分别为1()rr，2()rr，则二重积分就可化为如下的累次积分(,)dDfxy21()()d(cos,sin)drrfrrrr,如果极点在内部(如图12.1-８)，则有2π()00(,)dd(cos,sin)drDfxyfrrrr例2计算(如图12.1-９)中的所示区域D上函数223/21(,)()fxyxy的积分解在极坐标系下，区域D可表示为12,04r，于是得到π4222320133111()dddddDDxyrrrrrr2π4011πd8rrr．说明：一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，或被积函数中含有22()axy项时，采用极坐标计算往往比较简便．2010年26．累次积分222202d(,)dxxxxxfxyy写成另一种次序的积分是A．10d(,)dyyyfxyxB．222202d(,)dyyyyyfxyxC．221111d(,)dyyyfxyxD．22111111d(,)dyyyfxyx27．设{(,)|Dxyx≤2,y≤2}，则DyxddA．2B．16C．12D．4DB48．计算二重积分22dDxy，其中D是由圆223xy所围成的闭区域．2011年