几个常见函数的导数1

...下载可编辑.几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min一.知识点：知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x2f(x)＝xf′(x)＝12x知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1x二.典例分析：题型一利用导数公式求出函数的导数例1求下列函数的导数：...下载可编辑.(1)y＝sinπ3；(2)y＝5x；(3)y＝1x3；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin2x2.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝1x3′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝(4x3)′＝(x34)′＝1434x＝344x；(5)y′＝(log3x)′＝1xln3；(6)y＝1－2sin2x2＝cosx，y′＝(cosx)′＝－sinx.反思与感悟若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．题型二利用导数公式解决切线有关问题例2(1)已知P，Q为抛物线y＝12x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．答案(1，－4)解析y′＝x，kPA＝y′|x＝4＝4，kQA＝y′|x＝－2＝－2.∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8，QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，联立方程组y＝4x－8，y＝－2x－2，得x＝1，y＝－4.∴A(1，－4)．(2)已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|0xx＝cosx0，k2＝y′|0xx＝－sinx0，要使两切线垂直，必须k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．反思与感悟1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤...下载可编辑.题型三利用导数公式求最值问题例3求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．解设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d＝|12－14－2|2＝728.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．三.课堂小结：1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．精练部分：年级：高三科目：数学类型:同步难易程度：易建议用时：随堂练习10-15min课后作业30min四.随堂练习：一、选择题1．下列各式中正确的个数是()①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(1x)′＝－12x－32；④(5x2)′＝25x－35；⑤(cosx)′＝－sinx；⑥(cos2)′＝－sin2.A．3B．4C．5D．6答案B...下载可编辑.2．已知过曲线y＝1x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为()A.12，2B.12，2或－12，－2C.－12，－2D.12，－2答案B解析y′＝1x′＝－1x2＝－4，x＝±12，故选B.3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()A．4B．－4C．5D．－5答案A解析f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于()A．4B．－4C．28D．－28答案C解析∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8，①又y′|x＝2＝3×22＝12＝k，②由①②可得：k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.5．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f，则m＝________.答案－4解析f′(x)＝－1x2，g′(x)＝m.∵g′(2)＝1f，∴m＝－4.6．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．答案(1,1)五.课后作业：1．若f(x)＝sinx，f′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是()A.π3B.π6C.2π3D.5π6答案A解析∵f′(x)＝cosx，∴f′(α)＝cosα＝12，∵α＝π3时，cosα＝12，故选A.2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0...下载可编辑.C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0答案A解析设切点(x0，y0)，l的斜率k＝y′|x＝x0＝4x30＝4，x0＝1，∴切点(1,1)，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.1eB．－1eC．－eD．e答案D解析y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝kx0，①y0＝ex0，②k＝ex0，③∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.4．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________．答案3x－y－11＝0解析∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)＝3(x＋1)2＋3≥3，∴当x＝－1时，斜率最小，切点为(－1，－14)，∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.5．若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.答案64解析∵y＝x－12，∴y′＝－12x－32，∴曲线在点(a，a－12)处的切线斜率k＝－12a－32，∴切线方程为y－a－12＝－12a－32(x－a)．令x＝0得y＝32a－12；令y＝0得x＝3a.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12·3a·32a－12＝94a12＝18，∴a＝64.6．已知A、B、C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1、m、4(1m4)，当△ABC的面积...下载可编辑.最大时，m的值等于________．答案94解析如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B点的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．f′(m)＝12m，A点坐标为(1,1)，C点坐标为(4,2)，∴kAC＝2－14－1＝13，∴12m＝13，∴m＝94.7．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，∴切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x0＝－2，∴切线方程为9x－y＋16＝0.