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要点梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.§2.7函数与方程f(x)=0基础知识自主学习(2)几个等价关系方程f(x)=0函数y=f(x)的图象与_____有交点y=f(x)有_______.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_________________,那么函数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),使得_________,这个____也就是f(x)=0的根.f(a)·f(b)0(a,b)f(c)=0cx轴零点2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点__________________________无交点零点个数______________(x1,0),(x2,0)(x1,0)无一个两个3.二分法(1)二分法的定义对于在区间[a,b]上连续不断且_____________的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证______________,给定精确度;第二步,求区间(a,b)的中点x1;f(a)·f(b)0一分为二零点f(a)·f(b)0第三步,计算_______:①若_______,则x1就是函数的零点;②若_____________,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));③若______________,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));第四步,判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.f(x1)f(a)·f(x1)0f(x1)·f(b)0f(x1)=0基础自测1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的零点是()A.0,2B.0,C.0,D.2,解析由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).令g(x)=0,得x=0,x=∴g(x)的零点为0,212121,21.21C2.函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a的取值范围是()A.B.a≤1C.D.解析f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则f(-1)·f(1)≤0,即51a511a151aa或.151aa或D3.函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是()解析图B不存在包含公共点的闭区间[a,b]使函数f(a)·f(b)0.B4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=mx2-3x+6D.f(x)=ex+3x-6解析对选项D,∵f(1)=e-30,f(2)=e20,∴f(1)f(2)0.D5.设函数则函数f(x)-的零点是__________.解析当x≥1时,当x1时,(舍去大于1的根).∴的零点为,)1,(2),1[22)(2xxxxxxf41,04122,041)(xxf即,0412,041)(2xxxf即.89x252x41)(xf.252,89252,89题型一零点的判断【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];(2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点,第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.思维启迪题型分类深度剖析解(1)方法一∵f(1)=12-3×1-18=-200,f(8)=82-3×8-18=220,∴f(1)·f(8)0,故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.方法二令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8].∴(x-6)(x+3)=0,∴x=6∈[1,8],x=-3[1,8],∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]有零点.(2)方法一∵f(1)=log23-1log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0,∴f(1)·f(3)0,故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.方法二设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象,从图象中可以看出当1≤x≤3时,两图象有一个交点,因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.值得说明的是,零点存在性定理是充分条件,而并非是必要条件.探究提高知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x3+1;(2)x∈(0,1).解(1)∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0,即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,∴f(x)=x3+1有零点-1.(2)方法一令f(x)=0,∴x=±1,而±1(0,1),∴x∈(0,1)不存在零点.,1)(xxxf,01,012xxxx得,1)(xxxf方法二令y=x,在同一平面直角坐标系中,作出它们的图象,从图中可以看出当0x1时,两图象没有交点.故x∈(0,1)没有零点.,1)(xxxf,1xy题型二函数零点个数的判断【例2】求函数y=lnx+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.思维启迪解在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象,由图可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.若采用基本作图法,画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.探究提高知能迁移2已知函数(a1),判断f(x)=0的根的个数.解设f1(x)=ax(a1),f2(x)=则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中,作出函数f1(x)=ax(a1)与f2(x)=的图象(如图所示).两函数图象有且只有一个交点,即方程f(x)=0有且只有一个根.12)(xxaxfx,12xx11312xxx题型三零点性质的应用【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.(1)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解.思维启迪x2e解(1)方法一∵等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是[2e,+∞),4分因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.6分方法二作出的图象如图:4分可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.6分e,2e2e)(22xxxgxxxg2e)(方法三解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根,4分等价于故m≥2e.6分(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,0e40222mm故,e2e20mmm或作出(x0)的图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.10分故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).12分xxxg2e)(此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形结合法求解.探究提高知能迁移3是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.解∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)0∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤或a≥1.51检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.(2)当f(3)=0时,a=解之得x=或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠综上所述,a或a1.,51,,)(.)(05651305651322xxxfxxxf即令此时5251511.函数零点的判定常用的方法有:①零点存在性定理;②数形结合;③解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围,当达到一定的精确度要求时,所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.方法与技巧思想方法感悟提高1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.失误与防范2.对函数零点存在的判断中,必须强调:(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(a)·f(b)0;(3)在(a,b)内存在零点.事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.一、选择题1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1]B.[1,2]C.[-2,-1]D.[-1,0]解析∵f(-1)=3-1-(-1)2=f(0)=30-02=10,∴f(-1)·f(0)0,∴有零点的区间是[-1,0].,032131D定时检测2.(2009·天津理,4)设函数(x0),则y=f(x)()A.在区间(1,e)内均有零点B.在区间(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点xxxfln31)(),1,e1(),1,e1()1,e1()1,e1(解析因为因此f(x)在内无零点.因此f(x)在(1,e)内有零点.答案D)1,e1(,0)1e31(31)1ln31()e1lne131()1()e1(ff.093ee)lne31()1ln131((e))1(ff又3.(2009·福建文,11)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是()A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.解析∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则)21ln()(xxf.01212)21(,02322212)41(gg,21410x又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=ex-1零点为x
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