交通堵塞解决方案的数学建模

数学建模摘要本文用层次分析法，得出了解决交通堵塞应采用建立人行天桥的方案。先建立层次结构模型，分三层，第一层为目标层(O),第二层为准则层(C),第三层为方案层(P)，根据层次结构模型构造判断矩阵。用MATLAB求出第2层对第一层的权向量W1，第三层对第二层的组合权向量W2，组合权项量W=W1*W2，最后得出W=0.45870.29840.2429可知第一方案为最优方案。一、问题的重述某市中心有一商场，由于附近的行人和车辆流量过大，经常造成交通堵塞，政府组织了专家会商研究拟定了五个评价标准和三个方案，评价标准为：B1：通车能力；B2：方便群众；B3：费用不宜过高B4：交通安全；B5：市容美观；方案为：C1:在商场附近建一人行天桥；C2：在商场附近建一地下人行通道；C3：搬迁商场；我们需根据这五个评价标准和三个方案，用层次分析法以改善市中心的交通环境为目标，进行模型的建立与分析，选出最优的解决方案。二、模型假设1.假设只根据所提的五个评价准则，不考虑其他条件。2.假设题中的三个方案是合理的，不考虑其他方案。3.假设评价准则的重要性判断是合理的。符号的定义：1.B1：通车能力成对比较矩阵2.B2：方便群众成对比较矩阵3.B3：费用不宜过高成对比较矩阵4.B4：交通安全成对比较矩阵5.B5：市容美观对比较矩阵6.P：总体比较矩阵7.CIx：一致性指标(x=1…5)8.RIx:随机一致性指标(x=1…5)9.CRx:总体一致性比率(x=1…5)10.ZB:总体一致性比率矩阵11.W1：权向量（特征向量）12.W2：第2层对第一层的权向量13.ZC:一致性指标矩阵14.ZR：随机一致性指标矩阵三、模型的建立与求解(一)建立层次结构模型问题的层次结构共分三层:第一层为目标层(O),第二层为准则层(C),第三层为方案层(P)。（二）构造成对比较矩阵按照层次结构，将每一层元素以相邻上一层元素为准则，进行成对比较并按1-9的标度方法构造判断矩阵。准则层对目标层的成对比较矩阵P=通车能力B1=方便群众B2=费用不宜过高B3=交通安全B4=市容美观B5=目标层DQWOOOOOOO准则层方案层改善市中心的交通环境通车能力方便群众费用不宜过高交通安全市容美观C1C3C2（三）求组合权向量W1、先求出第2层对第一层的权向量W1因为一致性指标公式为CI=λmax–n/n-1其中n和λ分别为矩阵的阶数和最大特征值N=5用MATLAB求P的最大特征值λmax[S,T]=eig(p),pmax=T(1,1)得出λmax=5.2538用MATLAB求,CI=(pmax-5)/(5-1)得CI=0.0634随机一致性指标RI查表得RI=1.12用MATLAB求CR=CI/RICR=0.0566用MATLAB求W1W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]得W1=0.23530.23530.05900.32940.14122、求第三层对第二层的组合权向量W2第三层对第二层计算结果K12345WK0.73930.59540.73930.25990.10950.18310.27640.18310.41260.30900.07750.12830.07750.32750.5816λK3.00373.00553.07763.05363.0037CIK0.00180.00280.03880.02680.0018用MATLAB求W2W2=[S1(:,1)/sum(S1(:,1)),S2(:,1)/sum(S2(:,1)),S3(:,1)/sum(S3(:,1)),S4(:,1)/sum(S4(:,1)),S5(:,1)/sum(S5(:,1))]W2=0.73930.59540.73930.25990.10950.18310.27640.18310.41260.30900.07750.12830.07750.32750.58163、组合权项量W=W1*W2用MATLAB求的W=0.45870.29840.2429第一项的组合权向量最大，故选择第一方案。(四)单项一致性检验用MATLAB进行检验p=[1155/75/3;1155/75/3;1/31/311/71/3;7/57/5717/3;3/53/533/71][S,T]=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RICR=0.0566B1=[115;116;1/51/61]B2=[125;1/212;1/51/21]B3=[158;1/513;1/83/81]B4=[11/21;211;111]B5=[11/31/5;311/2;521][S1,T1]=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1[S2,T2]=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2[S3,T3]=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3[S4,T4]=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4[S5,T5]=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5ZB=0.00320.00480.06690.04620.0032得出所有的值小于0.1通过一致性检验（四）总体一致性检验W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]ZC=[CI1,CI2,CI3,CI4,CI5],ZR=[RI1,RI2,RI3,RI4,RI5]a=ZC*W1,b=ZR*W1,CR=a/bCR=0.0219得出CR的值小于0.1，总体通过一致性检验W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]W2=[S1(:,1)/sum(S1(:,1)),S2(:,1)/sum(S2(:,1)),S3(:,1)/sum(S3(:,1)),S4(:,1)/sum(S4(:,1)),S5(:,1)/sum(S5(:,1))]W=W2*W1W=0.45870.29840.2429得出第一方案的值最大，故选第一方案。四、模型的评价与推广该模型利用层次分析法对三个方案进行评价，得出解决市中心交通堵塞的最佳方案应为建立人行天桥。从该模型中我们可以了解到层次分析法对于多目标问题的决策能提供比较有效的定量依据。模型的不足在于主观因素太强，如果能对方案的准则进行一定的数据统计，应该能得出更加准确的结果。五、参考文献1.韩中庚合理分配住房的方案及模型1997,27:(2)2.常志勇层次分析模型附录：MATLAB计算过程MATLAB计算单项一致性检验p=[1155/75/3;1155/75/3;1/31/311/71/3;7/57/5717/3;3/53/533/71]p=1.00001.00005.00000.71431.66671.00001.00005.00000.71431.66670.33330.33331.00000.14290.33331.40001.40007.00001.00002.33330.60000.60003.00000.42861.0000[S,T]=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RIS=-0.4777-0.4725-0.4453-0.00400.3838-0.47770.4725-0.44530.0040-0.3838-0.1198-0.18900.3788-0.19300.1928-0.66870.6614-0.6234-0.5481-0.7801-0.28660.2835-0.26720.8138-0.2440T=5.2538000000.000000000-0.253800000-0.0000000000.0000pmax=5.2538CI=0.0634RI=1.1200CR=0.0566B1=[115;116;1/51/61]B1=1.00001.00005.00001.00001.00006.00000.20000.16671.0000[S1,T1]=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1S1=-0.6797-0.3398-0.5886i-0.3398+0.5886i-0.72230.72230.7223-0.1279-0.0640+0.1108i-0.0640-0.1108iT1=3.0037000-0.0018+0.1053i000-0.0018-0.1053iB1max=3.0037CI1=0.0018RI1=0.5800CR1=0.0032B2=[125;1/212;1/51/21]B2=1.00002.00005.00000.50001.00002.00000.20000.50001.0000[S2,T2]=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2S2=-0.8902-0.8902-0.8902-0.41320.2066+0.3578i0.2066-0.3578i-0.19180.0959-0.1661i0.0959+0.1661iT2=3.0055000-0.0028+0.1290i000-0.0028-0.1290iB2max=3.0055CI2=0.0028RI2=0.5800CR2=0.0048B3=[158;1/513;1/83/81]B3=1.00005.00008.00000.20001.00003.00000.12500.37501.0000[S3,T3]=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3S3=0.96570.96540.96540.2392-0.1385+0.2005i-0.1385-0.2005i0.1013-0.0388-0.0849i-0.0388+0.0849iT3=3.0776000-0.0388+0.3350i000-0.0388-0.3350iB3max=3.0776CI3=0.0388RI3=0.5800CR3=0.0669B4=[11/21;211;111]B4=1.00000.50001.00002.00001.00001.00001.00001.00001.0000[S4,T4]=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4S4=0.4425-0.2212+0.3832i-0.2212-0.3832i0.70240.70240.70240.5575-0.2788-0.4828i-0.2788+0.4828iT4=3.0536000-0.0268+0.4038i000-0.0268-0.4038iB4max=3.0536CI4=0.0268RI4=0.5800CR4=0.0462B5=[11/31/5;311/2;521]B5=1.00000.33330.20003.00001.00000.50005.00002.00001.0000[S5,T5]=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5S5=-0.16400.0820+0.1420i0.0820-0.1420i-0.46290.2314-0.4008i0.2314+0.4008