【高考冲刺押题】2013高考数学三轮-基础技能闯关夺分必备-基本不等式(含解析)

第1页共7页基本不等式【考点导读】1.能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。2.能用基本不等式解决综合形较强的问题。【基础练习】1.“ab0”是“ab222ab”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2.cabcabaccbba则,2,2,1222222的最小值为1323.已知下列四个结论①当2lg1lg,10xxxx时且；②21,0xxx时当；③xxx1,2时当的最小值为2；④当xxx1,20时无最大值。则其中正确的个数为1个4.已知,xyR，且41xy，则xy的最大值为1615.已知lglg1xy，则52xy的最小值是2【范例导析】【例1】（1）已知54x，求函数14245yxx的最大值.（2）求函数1422xxy的最小值，并求出取得最小值时的x值．分析：问题（1）中由于450x，所以首先要调整符号；问题（2）中要注意利用基本不等式时等号成立条件.解：（1）∵54x∴540x∴y=4x-2+145x=154354xx≤-2+3=1当且仅当15454xx，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max1y.（2）求22242yxx的最大值第2页共7页解:2226(2)2yxx(若由22222622,2(2)22yxxx则即无解“=”不成立)令2222,6()uxyuu则,可以证明y(u)在[2,)递减∴u=2,即x=0时,ymax=3点拨：在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三等”.凑出定值是关键!“=”成立必须保证,若两次连用均值不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且1ab+=xy，求x+y的最小值。（2）已知00yx，，且302xyyx，求xy的最大值．分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.解:(1)法一：直接利用基本不等式：abbxayx+y=(x+y)(+)=a+b++xyyx≥a+b+2ab当且仅当aybx=xyab+=1xy，即x=a+aby=b+ab时等号成立法二：由ab+=1xy得ayx=y-baya(yb)abxyyyybybababay(yb)abybyb∵x0，y0，a0∴由ayy-b0得y-b0[来源:学科网]∴x+y≥2ab+a+b当且仅当ab=y-by-bab+=1xy，即y=b+abx=a+ab时，等号成立第3页共7页（2）法一：由302xyyx，可得，)300(230xxxy　．xxxxxxxy264)2(34)2(23022264)2(34xx注意到16264)2(2264)2(xxxx．可得，18xy．当且仅当2642xx，即6x时等号成立，代入302xyyx中得3y，故xy的最大值为18．法二：Ryx,，xyxyyx22222，代入302xyyx中得：3022xyxy解此不等式得180xy．下面解法见解法一，下略．点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.例3设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果]43,32[，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？分析：首先建立函数模型，再通过基本不等式求其最值，注意等号取得的条件.解：设画面的高为xcm，宽为xcm，则48402x，设纸张面积为S，则有)10)(16(xxS[来源:学科网ZXXK]2(1610)160550004410(8)6760xx，当且仅当58时，即85时，S取最小值，此时，高cmx884840，宽588558xcm.如果]43,32[，则上述等号不能成立.现证函数第4页共7页S(λ)在]43,32[上单调递增.设433221,则12121255()()4410(88)SS121254410()(8)因为05885322121，又021，所以0)()(21SS，故)(S在]43,32[上单调递增,因此对]43,32[，当32时，)(S取得最小值.点拨:用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.反馈练习：1.如果正数abcd，，，满足4abcd，那么（A）Ａ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｂ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｃ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一Ｄ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一2.函数43fxxx在,2上（D）A.无最大值，有最小值7B.无最大值，有最小值-1C.有最大值7，有最小值-1D.有最大值-1，无最小值-13.设a＞1,且2log(1),log(1),log(2)aaamanapa,则pnm,,的大小关系为m＞p＞n4.已知下列四个结论：①若,,Rba则22baabbaab；②若Ryx,,则yxyxlglg2lglg；③若,Rx则4424xxxx；④若,Rx则222222xxxx。其中正确的是④5.已知不等式1()()9axyxy对任意正实数,xy恒成立，则正实数a的最小值为66.若a是正实数，2a2+3b2=10，则22a+b的最大值等于634第5页共7页7.函数1(01)xyaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线10(0)mxnymn上，则11mn的最小值为4．8.若x，y是正数，则22)21()21(xyyx的最小值是49.若a、b、c为正实数，且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为23210.（1）已知：0xy，且：1xy，求证：2222yxyx，并且求等号成立的条件．（2）设实数x，y满足y+x2=0，0a1，求证：xyaloga+a≤1log28a。解：（1）分析：由已知条件Ryx，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有yx，无法利用xyyx2，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(yxyx型，再行论证．证明：,1.0,0xyyxyx又yxxyyxyxyx2)(222yxyx2)(.22)(2)(2yxyx等号成立，当且仅当)(2)(yxyx时．.4,2,2)(222yxyxyx,6)(,12yxxy.6yx由以上得226,226yx[来源:学+科+网]即当226,226yx时等号成立．说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．（2）∵yxaa≥81)21x(212xxyx22a2a2a2，81)21x(212≤81，0a1∴81)21x(212a2≥81a2∴yxaa≥81a2∴)aa(logyxa≤812log)a2(loga81a第6页共7页11.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600vyvvv．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：（Ⅰ）依题意，,83920160023920)1600(3920vvy)./(1.1183920,,40,1600max小时千辆所以上式等号成立时即当且仅当yvvv（Ⅱ）由条件得,10160039202vvv整理得v2－89v+16000,[来源:学科网]即（v－25）（v－64）0,解得25v64.答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．12.已知a、b为正数，求证：（1）若a+1＞b，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+1xx＞b成立；[来源:Zxxk.Com]（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+1xx＞b成立，则a+1＞b.分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax+1xx=a（x－1）+11x+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.∵a+1＞b（b＞0），∴（a+1）2＞b.从而ax+1xx＞b（2）∵ax+1xx＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+1xx］min＞b，而ax+1xx=a（x－1）+11x+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，当且仅当a（x－1）=11x，即x=1+a1＞1时取等号.故［ax+1xx］min=（a+1）2.则（a+1）2＞b，即a+1＞b.第7页共7页评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.