7.8(1)无穷等比数列各项的和讲解

7.8(1)无穷等比数列各项的和一位古希腊学者芝诺(Zenon,公元前496～前429)曾提出一个著名的“追龟”诡辩题.大家知道,乌龟素以动作迟缓著称,阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言:阿基里斯与龟赛跑,将永远追不上乌龟!其理由是:如图所示,假定阿基里斯现在A处,乌龟现在T处.为了赶上乌龟,阿基里斯先跑到乌龟的出发点T,当他到达T点时,乌龟已前进到T1点;当他到达T1点时,乌龟又已前进到T2点,如此等等.当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方,乌龟已又向前爬动了一段距离.因此,阿基里斯是永远追不上乌龟的!AT1.引例T1T2所以,阿基里斯只要不到112米的路程就可以追上乌龟!让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速度是乌龟的十倍,龟在前面100米.当阿基里斯跑了100米时,龟已前进了10米;当阿基里斯再追10米时,龟又前进了1米;阿再追1米,龟又进了0.1米.所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为1110010110100limnnS1100[1()]10limlim1110nnnnS1001000()19110米这个例子告诉我们,虽然乌龟每个时段都在增加路程,但再怎么增加,其路程总和都不会无限增大,有一个极限.11[1()]1221()1212nn11112482n111111221221,,,,.,,,2ABCDABCDADADDAADBCABABBA在边长为的正方形中连接中点、得矩形连接的中点、得矩形……如此引例一直作下去.;n①求前个这样的矩形的面积之和②求无限多个这样的矩形的面积之和.11112482nABCD1D1A1lim[1()]12nn2A2B1212(3),,nnnnSSSaaaSaaa与是两个不同的概念1(1):limlim1nnnnaqSSq即1.()无穷递缩等比数列各项和|,,|1nnSnqS我们把的无穷等比数列的前项和当时无穷等比数列各项和的极限称作记作12.:(0||1)1aSqq公式(1):(1,0)(0,1);qq实际范围说明：的nnSSlim(2),;q不在此范围内则各项和不存在011aq1.(1)2.13例化下列循环小数为分数2461313132101010131002111001329921199(2)1.432147103213213211.41010103321100001.411103211.4999476903330•2.0.91例判断与的大小相等0.90.90.090.0090.9110.11131913112141211lim)2(nnn11211243.1111(1)lim()2482nn例求下列极限)2100.02100.0210.021.0(lim)3(个nn11121114330.12100.12119402110071091:(1)0.130.0130.0013S练习求下列极限12482(2)lim139(3)nnn0.13100.03(0.1)119141101027212811(3)2(12)8(21)12limlim1[1(3)]1(3)1(3)nnnnnn218[()()]33lim1()130nnnn4.(35),(1)lim,;(2)lim,nnnnnnaxaxSx例等比数列通项公式为若存在求实数的范围若存在求实数的范围.1351350xx且2334[,)(,)5555x1351350xx且2334(,)(,)5555x12115.{}lim(),2nnnaaaaa例若等比数列满足：求的范围.1112aq112qa(1,0)(0,1)q111(0,)(,1)22a1(2),22,若一个无穷等比数列的前两项之和为所有奇数项的和比所有偶数项的和大求这个无穷等比数列的各项和.6.(1),kk例若一个无穷等比数列中每一项都是它以后各项和的倍求实数的取值范围.11nnaakq121121221(1)22111aaaqaaaqqq11111322aaqq或1121131()2aSq(,2)(0,)k1(1)111,(1,0)(0,1)nnaqqkqaqq()舍21237.8:1,2,3,41,2APBP作业组：习题组