2014人教A版高中数学必修四-第2章(第4课时)《平面向量的线性运算》(3)教案

课题：2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：差向量的意义：OA=a,OB=b,则BA=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a，作出a+a+a和(a)+(a)+(a)OC=OAABBC=a+a+a=3aPN=PQQMMN=(a)+(a)+(a)=3a（1）3a与a方向相同且|3a|=3|a|；（2）3a与a方向相反且|3a|=3|a|2．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|（2）λ0时λa与a方向相同；λ0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03．运算定律结合律：λ(μa)=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa②第二分配律：λ(a+b)=λa+λb③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ0，μ0，a0有：|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a||(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|∴|λ(μa)|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向奎屯王新敞新疆从而λ(μa)=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ0，μ0，a0当λ、μ同号时，则λa和μa同向，∴|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a||λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与a同向即|(λ+μ)a|=|λa+μa|当λ、μ异号，当λμ时②两边向量的方向都与λa同向；当λμ时②两边向量的方向都与μa同向，且|(λ+μ)a|=|λa+μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立.当a0，b0且λ0，λ1时（1）当λ0且λ1时在平面内任取一点O，作OAaABb1OAλa11ABλb则OBa+b1OBλa+λb由作法知，AB∥11AB有OAB=OA1B1|AB|=λ|11AB|∴111||||||||OAABOAABλ∴△OAB∽△OA1B1∴1||||OBOBλAOB=A1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，|1OB|=|λOB|1OB与λOB方向也相同∴λ(a+b)=λa+λb当λ0时可类似证明：λ(a+b)=λa+λb∴③式成立4．向量共线的充要条件若有向量a(a0)、b，实数λ，使b=λa，则a与b为共线向量奎屯王新敞新疆若a与b共线(a0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa；当a与b反向时b=μa奎屯王新敞新疆从而得向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使b=λa奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m＋2n＝a①m－３n＝b②3×②得３m－９n＝３b③①－③得11n＝a－３b.∴n＝111a－113b④将④代入②有：m＝b＋３n＝113a＋112b例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证EF＝21(AB+DC).解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作CG＝AB，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.∴EF是△ADG的中位线，∴EF=DG21,∴EF＝21DG.而DG＝DC＋CG＝DC＋AB，∴EF＝21（AB＋DC）.解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB，EC，则有EB＝EA＋AB，EC＝ED＋DC，又∵E是AD之中点，∴有EA＋ED＝0.即有EB＋EC＝AB＋DC；以EB与EC为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.∴EF＝21EG＝21（EB＋EC）＝21（AB＋DC）例3如图,已知任意两个非零向量a,b,试作2,3OAOBOCa+b,abab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?解：∵2ABOBOAababb32ACOCOAababb∴2ACAB所以,A、B、C三点共线.四、课堂练习：五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：