2019-2020年高中数学知识精要-14.平面向量教案-新人教A版

2019-2020年高中数学知识精要14.平面向量教案新人教A版1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：给定一个非零向量，与同向且长度为1的向量叫向量的单位向量.的单位向量是；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.如（04年上海卷.文6）已知点A(-1,5)和向量,若,则点B的坐标为.(5,4)3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2，e1、e2称为一组基底.注：这为我们用向量解决问题提供了一种方向：把参与的向量用一组基底表示出来，使其关系容易沟通如（1）若，则______（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.B.C.D.（答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___（答：0）4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。提醒：（1）向量的夹角要求这两个向量同起点.（2）角的问题（如三角形内角）可转化为向量的夹角来解.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，，，，则_______（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，与的夹角为，则等于____（答：1）；（3）已知，则等于____（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，222,aaaaaa；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；提醒：（1）若则为锐角或者0角若则为钝角或者π角.（2）||＝可以用来证明//.③非零向量，夹角的计算公式：；④。如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是___（答：）；（3）答案：（4）（04年全国卷二.理9）已知平面上直线l的方向向量点和在l上的射影分别是O′和A′，则，其中=（D）.A．B．C．2D．－2（5）设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，0=）AC-AB()2(DADCDB则△ABC的形状是（B）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形（6）已知(cos,sin),(cos,sin),axxbyy与之间有关系式3,0kabakbk其中，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）6、向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到nnnAAAAAAAA113221（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）②向量的减法：用“三角形法则”：设,,ABaACbabABACCA那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同，指向被减向量(用向量的减法来引进新的起点或者消去不必要的起点)。向量加减运算的运算结果非0，在移项时要注意.容易得出：||－||≤||≤||+||．如（1）化简：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：）；（3）若O是所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则的形状为____（答：直角三角形）；（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）；（5）若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；（6）（04年全国卷二.文9）已知向量、满足：||=1，||=2，||=2，则||=（D）.A．1B．C．D．（7）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（D）A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点（2）坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，。如（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxy且，，则（答：或）；（3）已知作用在点的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)FFF，则合力的终点坐标是（答：（9,1））②实数与向量的积：1111,,axyxy。③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，，则C、D的坐标分别是__________（答：）；④平面向量数量积：。如已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值（答：或）；⑤向量的模：222222||,||axyaaxy。距离的求法：转化为向量的数量积：︱︱=如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）；⑥两点间的距离：若，则222121||ABxxyy。如如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。（答：（1）2；（2））；7、向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：,abcabcabcabc，ababab；（3）分配律：,aaaabab，。如下列命题中：①；②；③；④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：(1)向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ0；当与异向时，λ0。|λ|=|λ|的大小由及的模确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。(2)若=（）,b=（），则．（3）∥如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，则x＝______（答：4）；（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）（04年上海卷.理6）已知点,若向量与同向,=,则点B的坐标为.证明平行问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量平行9、向量垂直的充要条件：0||||abababab.特别地()()ABACABACABACABAC。如(1)已知，若，则（答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，则的坐标是________（答：）（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：）证明垂直问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量垂直10.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）||||||||||||ababab，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，①若112233,,,,,AxyBxyCxy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG。如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：）；②为的重心，特别地为的重心；③PAPBPBPCPCPAP为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；⑤||||||0ABPCBCPACAPBP的内心；（3）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______（答：直线AB）2019-2020年高中数学知识精要15.解析几何-直线与圆教案新人教A版1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围。如（1）直线的倾斜角的范围是____（答：）；（2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______（答：）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：。提醒：（1）直线的倾斜角α一定存在，但斜率不一定存在。（2）直线