第20讲・数学一轮课件・2008年全品高考复习方案

第20讲数列求和复习目标及教学建议基础训练知识要点双基固化能力提升规律总结复习目标熟练掌握数列求和的常用方法（等差、等比数列求和，错位相减法，倒序相加法，裂项求和，并项法）.教学建议要提高学生对代数式的观察能力与变形能力，能通过适当变形，将一些特殊数列求和转化为等差（比）数列求和或其他较易求和型.复习目标及教学建议基础训练1．{an}是等差数列，试用倒序相加法推导Sn=【解析】Sn=a1+a2+…+an-1+an,Sn=an+an-1+…+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=(a1+an)·n,得Sn=A第20讲数列求和12naan12naan2.{an}是等比数列，公比q≠1时，推导Sn=公式.【解析】Sn=a1+a1q+…+a1,qSn=a1q+a1+…+a1,由错位相减，得(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=第20讲数列求和1(1)1naqq1(1)1naqq1nqnq2q3.数列的前n项和Sn=【解析】S=(1+3+5+…+2n-1)+【小结】通过裂项，将数列转化为等差、等比数列求和，这是数列求和的基本思路.第20讲数列求和11111,3,5,7,...248162112nn111(...).242n第20讲数列求和4．an=则{an}前n项和Sn=【解析】当n=2k(k∈N*)时，Sn=(1-4)+(1-4)+…+(1-4)=-3k，当n=2k-1(k∈N*)时，〖JP〗Sn=S2k+4=-3k+4，故Sn=【小结】并项求和，并项后转化为易求和数列.1,4,nn为正奇数，为正偶数，3,213,4,2nnnn为偶数，为奇数，3,213,4,2nnnn为偶数，为奇数，第20讲数列求和５．已知an=则{an}的前n项之和Sn=【解析】【小结】拆项相消法1(1)nn1nn111...1223(1)111111....22311nSnnnnnn知识要点求数列的前n项和Sn1.直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=1、q≠12.错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和，此法即为等比数列求和公式的推导方法；3.裂项求和法：把数列的每一项分成几项，使其转第20讲数列求和第20讲数列求和4.拆项求和法：把数列的通项拆成几项求和，正负相消剩下（首尾）若干项求和.如:(1)(2)(3)111;(1)1nnnn1111().(21)(21)22121nnnn11().ababab第20讲数列求和5.倒序相加法：即等差数列求和公式的推6.公式法(注意公式的推导).常用的公式有：2222133333221112...(1)(21)61123...(1).4nknkknnnnknnn例1设f1(x)=，定义fn+1(x)=f1［fn(x)］，an=，其中n∈N*.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n，Qn=，其中n∈N*，试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.双基固化1．错位相减法求和第20讲数列求和(0)1(0)2nnff21x224441nnnn【解析】第20讲数列求和1111(1)1(1)211(0)2,2242(0)[(0)],1(0)21(0)11(0)2(0)221(0)nnnnnnnfaffffffaff∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，第20讲数列求和1(0)(0)111.42(0)2(0)22nnnnnffaff1412111().42nna（2）T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n-1+2na2nT2n=a1+2a2+…+(2n-1)a2n-1+2na2n=a2+2a3+…+(2n-1)a2n-na2n第20讲数列求和121()21()21()21()2第20讲数列求和∴T2n=T2n-(T2n)=a1+a2+…+a2n+na2n321222122111[1()]1142()142121111()()66242nnnnnn第20讲数列求和22122221111()()99262131(1),923143191,12441(21)nnnnnnnnTnnnnnTQnnn第20讲数列求和当n=1=4，=9，∴9T2n＜Qn当n=2时，=16，=25，∴9T2n＜Qn当n≥3∴9T2n＞Qn.综上，当n=1，2时，9T2n＜Qn当n≥3时，9T2n＞Qn.22n2(21)n22n2(21)n2201222[(11)](...)(21),nnnnnnnCCCCn【小结】数列求和中的错位相减法是最近几年高考题中常考内容，往往和解析几何、函数、不等式等知识联系较多，且涉及分类讨论等思想方法，考生须熟练掌握，“错位”是为了对齐同类项，最后一项符号易错，求和时，只有部分成等比（差）数列.2.数列求和例２.在直角坐标平面上，有一点列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，对于任意自然数n(n≥1)，点P1，P2，…，Pn，…都在曲线y=x2上，且点Pn与点An(n,0)，Bn(n+1,0)构成以Pn为顶点的等腰三角形.第20讲数列求和（1）求P1，P2，…，Pn，…各点的纵坐标构成的数列{bn}（2）设cn=求c1+c2+…+cn.【解析】（1）由Pn(an,an2)，则bn=an2.又△AnPnBn为等腰三角形，故满足|PnAn|=|PnBn|，第20讲数列求和1,2nnban第20讲数列求和2212121,(),22211(2)212122()221111(),2(1)21nnnnnnnnnabcnnbannnnnn第20讲数列求和∴c1+c2+…+cn111111[(1)()...()]2223111(1).212(1)nnnnn第20讲数列求和【小结】裂项的目的是为使部分项相互抵消.大多数裂项相消的通项均可表示为bn=其中{an}是公差d不为0的等差数列，则b1+b2+…+bn=111111()nnnnaadaa122311111111(...)nndaaaaaa３.求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，9+10+11+12+13，…的前n项和【解析】∵an=（2n-1）+2n+（2n+1）+…+［（2n-1）+n-1］=第20讲数列求和25322nn【小结】本题的关键是找到数列的项的规律，第20讲数列求和222253(123...)(12...)221(1)(52)6nSnnnnn例5[2007届·北京海淀期中试题]已知数列{an}满足：a1=1，an+1（1）求a2，a3（2）当n≥2时，求a2n-2与a2n的关系式，并求数列{an}（3）求数列{an}前100项中所有奇数项的和.能力提升第20讲数列求和1,22,nnannnn为奇数，a为偶数，第20讲数列求和【解析】（1）a2=,a3=（2）a2n-2+1=a2n-2-2(2n-2)即a2n-1=a2n-2-2(2n-2).a2n-1+1=a2n-1+(2n-1)即a2n=a2n-2-(2n-2)+(2n-1).∴a2n=a2n-2+1.32521212∴a2n-2=(a2n-2-2)∴a2n=+2(n∈N*).（3）∵当n=2k时，a2k+1=a2k-2×2k(k=1,2,…,49).∴叠加可得所有奇数项的1-2×(2+4+…+98)+a2+a4+…+a98=-4802.第20讲数列求和12212（）4912（）1.若是等差、等比数列求和问题，则直接用公式求和时，注意公式的应用范围(q=1和q≠1两类).2.非等差、等比数列求和，关键在于转化为等差、等比数列求和；写出通项公式，观察通项形式与特点、或拆项或并项、或错位相减或倒序相加.3.数列求和需熟练基本方法，积累一定经验.规律总结第20讲数列求和