第2章-线性偏微分方程的解法-分离变量法

第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法10第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法上述偏微分方程中的物理量包含对空间和时间多个变量的偏导，直接求解比较困难。在求解偏微分方程的所有方法中，分离变量法是一种非常重要的方法，其基本思想是把偏微分方程分解成为几个常微分方程，常微分方程和边界条件构成本征值问题，然后对本征值问题直接求解。§2.1分离变量法介绍2.1.1齐次偏微分方程的分离变量法两端固定的均匀弦的自由振动问题，其满足如下定解问题：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,0,000002xuxuuuuautttlxxxxttψϕ（1）设()()()tTxXtxu=,（2）带入上述泛定方程，得λ−==XXTaT''''2，λ为任意常数整理得0''=+XXλ（3）0''2=+TaTλ（4）X的泛定方程（2）和其边界条件()()0,00==lXX构成其本征值问题，即偏微分方程分离变量几个常微分方程本征值问题确定本征值、本征函数边界条件初始条件确定待定系数第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法11()()⎩⎨⎧===+0,000''lXXXXλ（5）1、当0λ时，方程（3）的通解为()xxccxXλλ−−−+=ee21由边界条件得，021==cc，()0=xX,弦不发生振动。2、当0=λ时，方程（3）的通解为()21cxcxX+=由边界条件得，021==cc，()0=xX，弦也不发生振动。3、当0λ时，方程（3）的通解为()xcxcxXλλsincos21+=由边界条件()()⎩⎨⎧====0sin0021lclXcXλ，得πλnl=，n为正整数。因此()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====lxncxXxXnlnnnππλλsin),3,2,1(,2222L（6）nλ和()xXn分别称为本征问题(5)的本征值和本征函数。将本征值),3,2,1(,222L==nlnnπλ带入关于T的泛定方程（4）0''2222=+TlanTπ，其解为()()),3,2,1(,sincosL=+==ntlanBtlanAtTtTnnnππ（7）将（6）（7）式带入（2）式，得到()()),3,2,1(,sinsincos,,L=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==nlxntlanBtlanAtxutxunnnπππ由于n取任意正整数，上述本征解都满足本征方程，因此，满足定解问题最一般的通解写为()∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=1sinsincos,nnnlxntlanBtlanAtxuπππ（8）第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法12nnBA,为待定系数，由初始条件确定。()())0(,sin,sin1010lxxlxnlanBuxlxnAunnttnnt⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∑∑∞==∞==ψππϕπ（9）（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫lnlnlnanBlnlA00dsin2dsin2ξπξξψπξπξξϕ（10）习题：求利用分离变量法求解如下定解问题（1）求如下定解问题()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,0,000002xuxuuuuautttlxxxxxxttψϕ（2）一长为l的细杆，初始时刻杆一端温度为零度，另一端温度为0u，杆上温度均匀分布。现零度一端保持温度不变，另一端与外界绝热，求杆上温度变化。⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====−===lxuuuuuautlxxxxxt0002,0,00（3）边长为00yx、的矩形薄板，两板面不透热，它的一边0yy=为绝热，其余三边保持温度为零，设板的初始温度分布为()yxf,，求板内温度变化。()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======+−=====yxfuuuuuuuautyyyyxxxyyxxt,,0,0,0,00000200第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法132.1.2非齐次偏微分方程的处理齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用，因为方程和边界条件都是齐次的，分离变量才得以实现。如果定解问题中的方程不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,0,00,0,,0002xuxuuutlxtxfuautttlxxxxttψϕ（11）我们分别利用本征函数法和冲量定理法求解上述非齐次偏微分方程的定解问题。这里，我们仅考虑边界条件是齐次的，非齐次边界条件的处理将在下一小节中讲述。一、本征函数法由2.1.1中例题（1）可知，当()0,≡txf时，定解问题的本征函数族为()L3,2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧nlxnπ。因此，设()()∑∞==1sin,nnlxntTtxuπ（12）将（12）带入（11）中的泛定方程，得()()()txflxntTlantTnnn,sin''12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=ππ（13）（13）式是()txf,关于x的正弦级数展开，()()()xlxntxfltTlantTlnndsin,2''02222ππ∫=+（14）另外,由初始条件()()xlxnTnnϕπ=∑∞=1sin0，()()xlxnTnnψπ=∑∞=1sin0',可得:()()xlxnxlTlndsin200πϕ∫=，()()xlxnxlTlndsin20'0πψ∫=（15）由（14）（15），可求得()tTn。然后代入（12）式，即为定解问题(11)的解。本征函数法也适用于泛定方程为齐次的情况。请尝试用本征函数法重新求解定解问题（1）。二、冲量定理法应用冲量定理法有一个前提条件，即初始条件必须均为齐次的。对于初始条件为非齐次的定解问题（如（11）），可以采用叠加原理，令第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法14()()()txutxutxu,,,21+=其中，21,uu分别满足如下定解问题()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,0,0,00101101121xuxuuuuautttlxxxxttψϕ（16）()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,0,0,0,0,,0202202222tttlxxxxttuuuutxfuau（17）齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始条件已经转化为齐次。下面，利用冲量定理法求解（17）式的定解问题，先求()τ,,txv满足的定解问题()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,0,0,0002τττxfvvvvvavtttlxxxxtt（18）然后，由如下公式，可进一步求得()txu,()()∫=ttxvtxu0d,,,ττ（19）证明：把非齐次项()txf,表示成无穷多个瞬时力的叠加()()()∫−=ttxftxf0d,,ττδτ（20）其中,()()ττδτd,−txf为瞬时力。持续力()txf,引起的振动可以看作无数瞬时力引起振动的叠加。设()txu,τ为τ时刻瞬时力()()ττδτd,−txf引起的振动。显然，()txu,τ其满足如下的定解问题：()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====−=−====,0,,0,,0,,0d,,,02ττττττττττδτtttlxxxxtttxutxutxuutxftxuatxu（21）时刻+=τt以后，瞬时力消失，泛定方程变为齐次的，因此，如果将+=τt作为初始时刻，第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法15将定解问题（21）改写为如下形式()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−++====ττττττττττd,,,0,,0,,00,,02xftxutxutxuutxuatxutttlxxxxtt（22）*******************************************************************************公式（22）中初始速度变为()()ττττd,,xftxutt=+=。可以由两种方法理解。（1）将公式（21）中泛定方程对时间t在区间[]+−ττ,进行积分，可得()()()ττττττττd,,,2xfdttxuatxuxxt=−∫+−+−由()()0,0,2=⇒=∫+−+=τττττdttxuatxuxxt另外，在−τ时刻，瞬时力还未发生作用，因此速度必然为零，即()0,=−ττtxut所以最终可得+τ时刻的初始速度()()ττττdxftxut,,=+。（2）在时刻τ，由冲量定理可得，瞬时力的冲量等于动量的变化：()()()ττττττd,,,xftxutxutttt=−−+==()0,=−ττtxutQ所以，可推得()()ττττdxftxut,,=+。*******************************************************************************由于ττ→+，因此将方程中（22）将+τ简写为τ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====ττττττττττd,,,0,,0,,00,,02xftxutxutxuutxuatxutttlxxxxtt（23）引入变量()τ,,txv，令()()τττd,,,txvtxu=（24）将（24）式代入（23）式，可得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,0,0,0002τττxfvvvvvavtttlxxxxtt（25）第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法16定解问题（25）可直接用分离变量法求解，然后由()()∫=ttxvtxu0d,,,ττ，可最终求得定解方程（17）的解()txu,。习题：分别利用本征函数法和冲量定理法求解定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====−====,0,0,0,00,0,sincos0002tttlxxxxxxttuuuutlxtlxAuauωπ2.1.3非齐次边界条件的齐次化上两小节中，边界条件都是齐次的。如果边界条件是非齐次的，不能直接利用分离变量法求解。例如定解问题（1），将其边界条件改为非齐次的()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,,00002xuxuthutguuautttlxxxxttψϕ由分离变量的思想，设()()()tTxXtxu=,，带入上述泛定方程，得0''=+XXλ（3）0''2=+TaTλ（4）X的边界条件()()()()()()thtTlXtgtTX==,0()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧===+tTthlXtTtgXXX,00''λ无法构成本征值问题继续求解。因此，对于边界条件是非齐次的定解问题，首先需要对其边界条件进行齐次化处理。一、边界条件齐次化例如自由振动问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,,00002xuxututuuautttlxxxxttψϕβα（21）边界条件是非齐次的。为了使用分离变量法，必须先将非齐次边界条件齐次化。令第二章线性偏微分方程的解法-分离变量法17()()()txtxvtxu,,,ω+=（22）适当选择()txv,使其满足()()tvtvlxxβα====,0。这样，另一个函数()tx,ω的边界条件将变为齐次，即满足0,00====lxxωω，其满足的定解问题为()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−===−−=−====,0,,0,,0,000022xvxxvxvavattttlxxxxttxxttψωϕωωωωω（23）上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发或者冲量定理法继续求解。另一个函数()txv,，可以采用多种形式，越简单越好，最好是x的线性函数或者不大于x的二次幂的函数。此处，我们利用线性函数构造，令()()()()xlttttxvαβα−+=,（24）将（24）式带入（23）式，即可求得()tx,ω，最终由（22）式可得()()()()()()()txxlttttxtxvtxu,,,,ωαβαω+−+=+=(25)思考：如果()txu,的边界条件分别满足下面两种情况，该如何构造()txv,（1）()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====−====,,,,00002xuxutu