信号与系统(第三版)西安电子科技大学出版社陈生潭第1-5章-第2章

信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-1页■电子教案第二章连续信号与系统的时域分析2.1连续时间基本信号2.2卷积积分2.3系统的算子方程2.4系统的零输入响应2.5系统的零状态响应2.6系统响应的经典解法2.7完全响应的分解第二章连续信号与系统的时域分析信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-2页■电子教案2.1连续时间基本信号三种连续时间基本信号，分别用于连续信号与系统的时域、频域、和复频域分析。1.奇异信号(t).(t),单位阶跃信号单位冲激信号2.正弦信号也称为虚指数信号。][)cos()()()(2tjtjAeetAtf.)(A2＝是周期信号，其周期、角频率和初相。分别为正弦信号的振幅和、式中Ttf2.1连续时间基本信号信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-3页■电子教案2.1连续时间基本信号ottoot(a)(b)(c))]sin()[cos()()()(tjteAeeAeeAAetfttjttjjstjsej,AA设3.复指数信号000信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-4页■电子教案2.2卷积积分一、定义dtfftftfty)()()()()(2121).(),,()()(),(21tytytftf连续信号积分结果为另一个新的为积分变量，定义域：和信号用图形方式理解卷积运算过程，包括以下5个步骤：时刻的波形。在它是波形。，得到绕纵轴翻转翻转。将波形。、轴，画出轴替换换元。用0)()(180)(:2)()(:122221ttfffStepfftStep二、图解机理2.2卷积积分信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-5页■电子教案2.2卷积积分对应一确定得波形。。，得左移时，将在右移时，将在，给定平移。)()()(0;)(0,)]([)(:3222222kkkkkkktftftfttfttttftfStep。求得卷积值轴围成的净面积，该波形与得到被积函数，并计算相乘，与相乘、积分。将)()()(:421kktytffStep。求得卷积结果变化，重复第三四步，由－令)(:5tytStepk信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-6页■电子教案卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。性质1.卷积代数满足乘法的三律：1.交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.结合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]三.卷积积分的性质2.2卷积积分信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-7页■电子教案性质2.奇异函数的卷积特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)证：)('d)()(')(*)('tftftftf(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)tftfd)(d)()(ε(t)*ε(t)=tε(t)2.2卷积积分信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-8页■电子教案性质3.卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.]d)([*)()(*]d)([d)](*)([212121tttftftffff证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)2.2卷积积分信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-9页■电子教案例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解：通常复杂函数放前面，代入定义式得f2(t)*f1(t)=1eded)(e00注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0显然是错误的。例2：f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t))()e1()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf1(t)t201解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ(t)–δ(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)2.2卷积积分信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-10页■电子教案解：f1(t)=ε(t)–ε(t–2)f1(t)*f2(t)=ε(t)*f2(t)–ε(t–2)*f2(t)ε(t)*f2(t)=f2(-1)(t)性质4.卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)f1(t)t201利用时移特性，有ε(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)2.2卷积积分信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-11页■电子教案例：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)t11-1f1(t)t102f2(t)0解：f1(t)=2ε(t)–2ε(t–1)f2(t)=ε(t+1)–ε(t–1)f1(t)*f2(t)=2ε(t)*ε(t+1)–2ε(t)*ε(t–1)–2ε(t–1)*ε(t+1)+2ε(t–1)*ε(t–1)由于ε(t)*ε(t)=tε(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε(t+1)-2(t–1)ε(t–1)–2tε(t)+2(t–2)ε(t–2)2.2卷积积分信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-12页■电子教案求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。2.2卷积积分四.常用的卷积积分公式信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-13页■电子教案2.3系统的算子方程一、微分、积分算子1.定义:p微分算子)()()1(tftpf)()()(tftfpnn:p-1积分算子)()()()1(1tfdxxftfpt)()()(tftfpnn。的一种运算但不是变量注意：算子表示对信号2.运算规则的正次幂多项式，则为、设pPBPA)()((1)某些代数运算)()()()()()(tfpApBtfpBpA（交换）)()23()()2)(1(2tfpptfpp（相乘、因式分解）2.3系统的算子方程信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-14页■电子教案2.3系统的算子方程(2)方程两边P的公因子不能随意消去)()()()()()(tfpAtypAtpftpy)()(tfty(3)分式中分子、分母中P的因子不能随意消去)()()()(11tftpftftfppp)()(p1p1tpftfp即微、积分运算次序不能随意颠倒。显然，对于零初始条件信号，则不受规则(2)、(3)的限制。一般而言信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-15页■电子教案2.3系统的算子方程二、算子方程与传输算子连续系统微分方程阶LTIn)()()()()()()()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn算子方程)()()()(01110111tfbpbpbpbtyapapapmmmmnnn简记为)()()()(tfpBtypA形式上改变为)()()()()()(tfpHtfpApBty信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-16页■电子教案2.3系统的算子方程则有已知系统传输算子：例,H(p)112p2p23pp)(2)()1()()()1()()2(2)()3()()2()()1223()(122)()()(23tftftytytytytfptyppptfpppptfpHty其中01110111)()()(apapapbpbpbpbpApBPHnnnmmmm称为采用算子方程、传输算子描述系统，形式有所不同，其本质仍是微分方程。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-17页■电子教案2.3系统的算子方程例2：已知连续系统框图，求H(P).设辅助变量X(t),则有)(tf)(ty)3(tx)()(tx)('tx)(tx654234)()(4)(5)(6)()1()2()3(tftxtxtxtx)()(4)(5)(6)()1()2()3(tftxtxtxtx即)(4)(3)(2)()1()2(txtxtxty又)(4)(3)(2)(4)(5)(6)()1()2()1()2()3(tftftftytytyty456432232)(ppppppH三、电路算子方程的建立元件、电路的算子模型算子方程建立方法：直接法、等效法和方程法。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-18页■电子教案2.4系统的零输入响应时域分析法连续系统xy(t)y()()()()()fhptytytytyt系统法：完全响应零输入响应零状态响应经典法：全响应齐次解特解一、系统初始条件则时刻连续系统，设初始观察,00tLTI)()()(tytytyfx（完全响应的分解性），有、分别令00t-)0()0()0()0()0()0(fxfxyyyyyy)(0)(0-因果性考虑到fy)()0()0(时不变性xxyy2.4系统的零输入响应信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-19页■电子教案)0()0()0()0()0()0()0(y)y(0x-ffxxyyyyyy故有)0()0()0()0()0()0()()()()()()(jfjjjxjxjyyyyyy同理)1()2(1210nj，，，，。表明了两者间的关系初始条件。式和分别称为系统的-0)2(02.4系统的零输入响应注意：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-20页■电子教案2.4系统的零输入响应二、零输入响应算子方程的传输算子对激励设响应f(t)y(t))()()(pApBpHB(p)f(t)A(p)y(p)算