图论课件第六章-平面图

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1第六章平面图主要内容一、平面图概念与性质二、特殊平面图与平面图的对偶图三、平面图的判定与涉及平面性不变量教学时数安排8学时讲授本章内容四、平面性算法0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2本次课主要内容(一)、平面图的概念(二)、平面图性质平面图概念与性质(三)、图的嵌入性问题简介(四)、凸多面体与平面图0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3图的平面性问题是图论典型问题之一。生活中许多问题都与该问题有关。(一)、平面图的概念例子1：电路板设计问题在电路板设计时，需要考虑的问题之一是连接电路元件间的导线间不能交叉。否则，当绝缘层破损时，会出现短路故障。显然，电路板可以模型为一个图，“要求电路元件间连接导线互不交叉”，对应于“要求图中的边不能相互交叉”。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4例子2：空调管道的设计某娱乐中心有6个景点，位置分布如下图。A1A4A5A3A2A6分析者认为：(1)A1与A4,(2)A2与A5,(3)A3与A6间人流较少，其它景点之间人流量大，必须投资铺设空调管道，但要求空调管道间不能交叉。如何设计？0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应的图为：A6A5A4A3A2A1于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不会相互交叉？0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6通过尝试，可以把上图画为：于是，铺设方案为：A6A5A4A3A2A1A1A4A5A3A2A60.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n7问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道不与另外的线或管道相交，能否办到？例子3：3间房子和3种设施问题上面问题可以模型为如下偶图：H3H2H1EWG问题转化为，能否把上面偶图画在平面上，使得边与边之间不会交叉？0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8上面的例子都涉及同一个图论问题：能否把一个图画在平面上，使得边与边之间没有交叉？针对这一问题，我们引入如下概念定义1如果能把图G画在平面上，使得除顶点外，边与边之间没有交叉，称G可以嵌入平面，或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法，称为G的一种平面嵌入，G的平面嵌入表示的图称为平面图。H3H2H1EWG图GH3H2H1EWG图G的平面嵌入0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9注:(1)可平面图概念和平面图概念有时可以等同看待；(2)图的平面性问题主要涉及如下几个方面：1)平面图的性质；2)平面图的判定；3)平面嵌入方法(平面性算法);4）涉及图的平面性问题的拓扑不变量。由图的平面性问题研究引申出图的一般嵌入性问题的研究，形成了拓扑图论的主要内容。我国数学家吴文俊、刘彦佩等在该方向都有重要结果。刘彦佩的专著是《图的上可嵌入性理论》(1994)，化学工业出版社出版。历史上，波兰数学家库拉托斯基、美国数学家惠特尼、生于英国的加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都在拓扑图论中有过精湛的研究。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10(二)、平面图性质定义2(1)一个平面图G把平面分成若干连通片，这些连通片称为G的区域，或G的一个面。G的面组成的集合用Φ表示。在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部面。Φ=｛f1,f2,f3,f4｝。平面图Gf1f3f2f4(2)面积有限的区域称为平面图G的内部面，否则称为G的外部面。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11(3)在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称为该面的边界。某面f的边界中含有的边数(割边计算2次)称为该面f的次数,记为deg(f)。平面图Gf1f3f2f4在上图中，红色边在G中的导出子图为面f3的边界。1deg()1f2deg()3f3deg()6f4deg()6f1、平面图的次数公式0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12定理1设G=(n,m)是平面图，则：deg()2ffm证明：对G的任意一条边e,如果e是某面割边，那么由面的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边，那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义，它也给总次数贡献2次。于是有：deg()2ffm2、平面图的欧拉公式0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13定理2(欧拉公式)设G=(n,m)是连通平面图，ф是G的面数，则：2nm证明：情形1，如果G是树，那么m=n-1,ф=1。在这种情况下，容易验证，定理中的恒等式是成立的。情形2，G不是树的连通平面图。假设在这种情形下，欧拉恒等式不成立。则存在一个含有最少边数的连通平面图G,使得它不满足欧拉恒等式。设这个最少边数连通平面图G=(n,m),面数为ф，则：2nm0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14因为G不是树，所以存在非割边e。显然，G-e是连通平面图，边数为m-1,顶点数为n,面数为ф-1。由最少性假设，G-e满足欧拉等式：化简得：(1)(1)2nm2nm这是一个矛盾。注：该定理可以采用对面数ф作数学归纳证明。3、欧拉公式的几个有趣推论0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15推论1设G是具有ф个面k个连通分支的平面图，则：1nmk证明：对第i(1≦i≦k)个分支来说，设顶点数为ni，边数为mi，面数为фi,由欧拉公式：2iiinm所以，12kiiiinmk0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n16而：1112kkkiiiiiinmk1kiinn1kiimm11kiik所以得：1nmk推论2设G是具有n个点m条边ф个面的连通平面图，如果对G的每个面f,有：deg(f)≥l≥3,则：(2)2lmnl0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17证明：一方面，由次数公式得：22deg()fmmfll另一方面，由欧拉公式得：2nm所以有：22mnml整理得：(2)2lmnl0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18注:(1)上面推论2也可以叙述为：设G=(n,m)是连通图，如果：(2)2lmnl则G是非可平面图。(2)推论2的条件是G是平面图的必要条件,不是充分条件。例1求证：K3,3是非可平面图。证明：注意到，K3,3是偶图，不存在奇圈，所以，每个面的次数至少是4,即l=40.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19所以，而m=9，这样有：所以，由推论2，K3,3是非平面图。4(2)(62)822lnl(2)2lmnl推论3设G是具有n个点m条边ф个面的简单平面图，则：36mn0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20证明：情形1，G连通。因为G是简单图，所以每个面的次数至少为3，即l=3。于是，由推论2得：情形2，若G不连通。设G1,G2,…,Gk是连通分支。36mn一方面,由推论1：1nmk另一方面，由次数公式得：23m所以得：33(1)36mnkn0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21例2，证明：K5是非可平面图。证明：K5是简单图，m=10,n=5。3n-6=9。得，，所以K5是非可平面图。36mn推论4设G是具有n个点m条边的连通平面图，若G的每个圈均由长度是l的圈围成，则：(2)(2)mlln证明：由次数公式，欧拉公式容易得证。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22推论5设G是具有n个点m条边的简单平面图，则：5证明：若不然，设6由握手定理：()6()236vVGndvmmn这与G是简单平面图矛盾。注：该结论是证明“5色定理”的出发点。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23定理3一个连通平面图是2连通的，当且仅当它的每个面的边界是圈。证明：“必要性”：设G是2连通的平面图，因为环总是两个面的边界，且环面显然由圈围成。不失一般性，假设G没有环，那么G没有割边，也没有割点。所以，每个面的边界一定是一条闭迹。设C是G的任意面的一个边界，我们证明，它一定为圈。若不然，设C是G的某面的边界，但它不是圈。因C是一条闭迹且不是圈，因此，C中存在子圈。设该子圈是W1.因C是某面的边界，所以W1与C的关系可以表示为下图的形式：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24vvj-1v1v2vi-1vi+1vnW1容易知道：v为G的割点。矛盾！“充分性”设平面图G的每个面的边界均为圈。此时删去G中任意一个点不破坏G的连通性，这表明G是2连通的。推论6若一个平面图是2连通的，则它的每条边恰在两个面的边界上。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25(三)、图的嵌入性问题简介在图的平面嵌入的基础上，简单介绍：1、曲面嵌入1)、球面嵌入定理4G可球面嵌入当且仅当G可平面嵌入。证明：我们用建立球极平面射影的方法给出证明。将求面S放在一个平面P上，设切点为O，过O作垂直于P的直线，该直线与S相交于z。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n262)、环面嵌入环面的形状像一个汽车轮胎的表面。PzyOx球极投影示意图作映射f:S-｛z｝→P。定义f(x)=y,使得x,y,z三点共线。该映射称为球极平面射影。通过f,可以把嵌入球面的图映射为嵌入平面的图。反之亦然。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n27例3将K4,K5,K3,3嵌入到环面上。3)定向曲面嵌入K4的环面嵌入K5的环面嵌入K3,3的环面嵌入这是目前嵌入性问题研究热点。国内：刘彦佩，黄元秋等是从事该方向研究的代表。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n282、图的3维空间嵌入定理5所有图均可嵌入R3中。证明：在R3中作空间曲线：23:xtlytzt把图G的顶点放在该直线的不同位置，则G的任意边不相交。事实上，对处于曲线l上的任意4个相异顶点，它们对应的参数值分别为：t1,t2,t3,t4。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29因为：2311123222233332344411011tttttttttttt所以，上面4点不共面。(四)、凸多面体与平面图一个多面体称为凸多面体，如果在体上任取两点，其连线均在体上。凸多面体的一维骨架：把一个凸多面体压缩在平面上，得到一个对应的平面图，该平面图称为该凸多面体的一维骨架。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30定理6存在且只存在5种正多面体：它们是正四、六、八、十二、二十面体。证明：任取一个正ф面体，其顶点数、棱数分别是n和m。对应的一维骨架是一个每个面次数为l,顶点度数为r的简单平面正则