一元二次方程复习专题讲义(补课用)

一元二次方程全章复习讲义一、知识结构：二、知识点：1.一元二次方程的一般式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。一次项系数，c为常数项。2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（也可以使用因式分解法）错误!未找到引用源。2(0)xaa解为：xa错误!未找到引用源。2()(0)xabb解为：xab错误!未找到引用源。2()(0)axbcc解为：axbc错误!未找到引用源。22()()()axbcxdac解为：()axbcxd（2）因式分解法：提公因式分解，平方公式，平方差，十字相乘法。如：20(,0)()0axbxabxaxb此类方程适合用提公因式，而且其中一个根为0。290(3)(3)0xxx230(3)0xxxx3(21)5(21)0(35)(21)0xxxxx22694(3)4xxx2241290(23)0xxxx2-4x-12=0(x-6)(x+2)=02x2+5x-12=0(2x-3)(x+4)=0(3)配方法：错误!未找到引用源。二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022PPxPxqxq示例：22233310()()1022xxx错误!未找到引用源。二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220(0)()0()()022bbbaxbxcaaxxcaxacaaa222224()()2424bbbbacaxcxaaaa示例：22221111210(4)10(2)2102222xxxxx(4).公式法：一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa错误!未找到引用源。当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa错误!未找到引用源。当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa错误!未找到引用源。当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。3.公式法解方程的步骤：错误!未找到引用源。把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20(0)axbxca，并确定出a、b、c错误!未找到引用源。求出24bac，并判断方程解的情况。I当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根。II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根。III当△0时，一元二次方程没有实数根。错误!未找到引用源。代公式：21,242bbacxa（b2-4ac≥0）注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.4.一元二次方程的根与系数的关系:法1：一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：221244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa。法2：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx；那么2120()()0axbxcaxxxx两边同时除于a，展开后可得：2212120()0bcxxxxxxxxaa12bxxa；12cxxa法3：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx；那么21122200axbxcaxbxc错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。得：12bxxa（余下略）12bxxa（余下略）（1）常用变形：222121212()2xxxxxx12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，22111212121222212()4xxxxxxxxxxxxxx等（2）韦达定理相关知识：①若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根21xx和，那么21xx，21xx。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。②如果一元二次方程02qpxx的两个根是21xx和，则21xx，21xx。③以21xx和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是错误!未找到引用源。②0)(21212xxxxxx④在一元二次方程)0(02acbxax中，有一根为0，则c；有一根为1，则cba；有一根为1，则cba；若两根互为倒数,则c；若两根互为相反数，则b。⑤二次三项式的因式分解(公式法)：在分解二次三项式cbxax2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02acbxax的两个根21xx和，那么))((212xxxxacbxax．如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解。例题分析：一元二次方程根的判别式的综合应用题型：题型1：不解一元二次方程，判断根的情况。例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)解：(1)2x2+3x-4=0a=2,b=3,c=-4,∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=410∴方程有两个不相等的实数根。(2)∵a≠0,∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，∵Δ=(b)2-4·a·0=b2,∵无论b取任何关数，b2均为非负数，∴Δ≥0，故方程有两个实数根。题型2：根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知：（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9（2）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9（3）∵方程无实数根，∴Δ0，即36-4k0.解得k9☆变式题1：试根据m的值讨论关于x的方程（m-2)x2+2mx+m+3=0的根的情况。分析：本题没有明确方程的类别（方程的次数），应分类讨论，因此，先要对二次项系数m－2是否为0展开讨论。在m－2≠0的情况下再利用判别式来分析。解：（1）时时，即当202mm45054xx原方程为45x根即原方程只有一个实数方程时，原方程为一元二次）当（022m244)3)(2(4)2(422mmmmacb实根；，此时方程有两个不等时，得即当60244042mmacb实根；，此时方程有两个相等时，得即当60244042mmacb，此时方程没有实数根时，得即当60244042mmacb☆变式题2：若两个关于x的方程x2＋x＋a＝0与x2＋ax＋1＝0有一个公共的实数根，求a的值。分析：首先理解公共根的意义，就是同时满足两个不同方程的根，其次利用“转化”思想，利用方程的根的定义，将公共根代入两个方程，再利用方程组求a的值。解：设两个方程的公共根为x0，则：20110020020axxaxx01)1(210axa得：0)1)(1(0xa是两个不同的方程与由条件01022axxaxx。∴a≠1，即a-1≠0.∴x0-1=0，得：x0=1.将代入方程（1）得a=-2。题型3：证明字母系数方程有实数根或无实数根。例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2∵不论m取任何实数(m2+2)20,∴-4(m2+2)20,即Δ0.∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。点评：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。题型4：应用根的判别式判断三角形的形状。例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。证明：整理原方程：方程c(x2+m)+b(x2-m)-2√max=0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax=0(c+b)x2-2ax+cm-bm=0根据题意：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma2-c2m+b2m=0∴Δ=m(a2+b2-c2)=0又∵m0,∴a2+b2-c2=0∴a2+b2=c2又∵a,b,c为ΔABC的三边，∴ΔABC为RtΔ。题型5：判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例5（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是_______（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是______;分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ=0。解：（1）令16a2+ka+25=0∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=k2-4×16×25=0∴k=+40或者-40（2）令ka2+4a+15=0∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0∴k=4。题型6：可以判断抛物线与直线有无公共点例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？解:列方程组消去y并整理得：x2+x-m-1=0即：△=1+4（m+1)=4m+5。∵抛物线与直线只有一个交点，∴Δ＝0，即：4m+5=0∴m=-5/4。(说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)题型7：可以判断抛物线与x轴有几个交点分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点（１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：①当△﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。②当△=0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。③当△﹤0时，抛物线与x轴