《勾股定理与旋转》专题

１《勾股定理与旋转》专题例1、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。练习：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是________.例2.如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。ABCDP练习1：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数。．2、如图、中，ABC090ACB，AC=BC，PA=6,PB=2,PC=4,求∠CPB的度数。AAFPPBBCCACBP２图2图1A'PPAABCBC例3、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究222BECFEF、、间的关系，并说明理由.【问题探究】1、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接AA',当点A落在CA'上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是.（结果可以不化简）图3CABP３EDDPPPCCCBBBAAA2、阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△ABC内部一点，且3:2:1::OCOBOA，求AOB的度数.小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△COA绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△OAB，连结OO.则△OAO是等边三角形，故OAOO，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形BOO中.（1）请你回答：AOB.（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四边形ABCD的面积.3、阅读下列材料：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．DCBA图⑴图⑵图⑶（C）OCBAO'OCBA４【练习巩固】1、阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1)图2中∠BPC的度数为；(2)如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=132，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．图1图2图32、在ABC△中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC△（即ABC△三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC△的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC△的面积直接填写在横线上__________________；思维拓展：（2）我们把上述求ABC△面积的方法叫做构图法．．．．若ABC△三边的长分别为2a、13a、17a（0a），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC△，并求出它的面积填写在横线上__________________；探索创新：（3）若ABC△中有两边的长分别为2a、10a（0a），且ABC△的面积为22a，试运用构图法．．．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的ABC△(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．５3、阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．图①图②4、已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．DABCDABC