优质课：任意角的三角函数教学设计

θMAOP任意角的三角函数教学设计福建师大附中张春晓一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.二、教学目标知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用.情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性.重点:任意角三角函数的定义.难点：任意角三角函数概念的建构过程.三、教学流程1．复习通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？设计意图对任意角概念的理解是学习本节课的基础.2．创设情境、引出主题问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为0h,它的直径为2r，逆时针方向做匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.师：让我们一起分析一下，在整个运动过程中，高度h是怎样变化的?师生：开始高度h先渐渐增高至最高点，再渐渐降低至最低点，再渐渐升高，最后回到初始位置；第二周，第三周，…，周而复始，呈现周期现象.设计意图以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出研究问题的“周期性”特点.师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？让我们先从特殊情形入手.例如，过了20s后，人距离地面的高度是多少？生：00sin20hhr.师：你能对这个式子做一解释吗？yxα|OP|=rtanα=yxcosα=xrsinα=yrOP(x,y)生：0h表示水平位置OA距离地面的高度，0sin20r表示P距离水平位置OA的高度，即0|MP|hh.师：如果过了40s呢？对上面式子做怎样修改？师生：将020换成040，即：00sin40hhr.一般地，过了t秒呢？猜想:0sinhhrt师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动，POA从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角，sin该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.设计意图为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习新知识的必要性.3．概念生成师：当P在水平但位置OA上方时，0|MP|hh；当P在水平位置OA下方时，0-|MP|hh，即：0|MP|hh与0sinhhrt相比较，要想两者和谐统一，必须有：sin|MP|rt，即：MPsinrt.师生小结：当点P在圆周上运动时，POA随之变化，任一个POA，对应着唯一点P，进而有唯一||MP，得到：MPsinrt.师：不过这样表述|MP|时，还是不够简洁,MP何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替MP，使上述表示形式更简单？它的绝对值与MP的长度相等，符号在OA上方表示正的，OA下方表示负的.生:引入直角坐标系，用点P的纵坐标y来替代||MP或-||MP.设计意图让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.师：接下来，我们把角放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r做圆，与角的终边交于点P，假设点P坐标为(,)xy，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，sin=yr.师：当是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义，|MP|sin=|OP|，|MP|即y，|OP|即r.师：三角函数只有这一个吗？生：还有余弦，正切.师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？生：cosxr，tanyx师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？生：是的，任意给定角，其终边唯一确定，终边与圆的交点P就唯一确定，比值随之唯一确定.师：比值会随着点P在终边上的变化而变化吗？生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的.师：很好，任意给定唯一确定比值.那如果是任意角呢，我们不妨假设此时终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是P，坐标为(,)xy，显然，我们已经不能把放在一个锐角三角形内，但是我们同样可以发现，当给定后，终边唯一确定，其与圆的交点P唯一确定，仍然符合函数的定义.师：这种比值形式能进一步简化吗？生：另=1r，则sin=y，cosx，tanyx师：此时点P具有什么特点？生：点P即是角终边与单位圆的交点.师：它们是函数吗？生：是的，当给定时，点P即定，函数值唯一确定.师：既然是函数，则有三要素，它们的定义域是什么？生：siny，cosy的定义域均为R，tany的定义域是{|k+,kZ}2师：很好，我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实，我们可以发现，任意角的三角函数是以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系.设计意图这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程.4．概念运用例1.（口算）求下列三角函数值：(1)0sin270;(2)cos3;(3)3tan()4.变式：若已知cos1,你能写出的一个角吗？例2.角的终边经过点13(,)22P，求它的三角函数值.设计意图让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤..例3.设sin0且tan0,确定是第几象限的角.设计意图通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想.例4.不求值，判断下列三角函数值的符号.(1)0sin(1060);(2)16cos()5;(3)0tan556.设计意图引出公式一sin(2)sink，cos(2)cosk，tan(2)tank，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.5．探究发现在如图所示的单位圆中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为OP，则有向线段yxαMP'PTBA'OAS,,,,,MPOMATBSOTOS分别称为角的正弦线，余弦线，正切线，余切线，正割线和余割线.图中的正弦线MP，余弦线OM均为圆O上的弦的一段.如MP是圆O的弦上'PP的一段，OM是圆O的弦'AA上的一段.图中正切线AT,余切线BS均为圆O上的切线段.图中正割线OT,余割线OS均为圆O上的割线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释，并说明理由？设计意图针对学生素质差异，设计有层次的思考题，留给学生课后自主探究，也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔.6．小结反思通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？设计意图让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的应用.情绪，贯穿于我们的生活之中。由于生理的不同，与男性相比，女性情感活动更强烈，也更容易情绪化。如果说父亲在家庭中扮演的是掌舵者、领导人的角色，那么母亲则是一个家庭的调节阀、供氧机。虽然家庭的重担由父母双方共同承担，但与父亲相比，母亲承担更多。在工作与家庭双重压力下不少母亲感到力不从心，情绪也变得更加不稳定。但母亲的情绪决定着一个家庭的温度，决定着一个家庭的和谐程度。首先从家庭生活中来看，女性温柔、细腻的特质可以在家庭生活中营造出一种暖意融融的气氛，在这种气氛下，再大的矛盾与困难都能克服。如果说父亲是一把披荆斩棘的利剑，母亲则是一张情意绵绵的丝网，她用爱将家庭与外面漆黑冰冷的世界剥离开来。女性相较于男性而言，更善于表达内心情感，更懂得利用语言与情绪的力量，母亲的笑脸、暖言能给每个家庭成员力量。每个孩子都是一块白纸，你想让他变成什么样子他就是什么样子，在孩子的成长过程中，母亲的影响是不可能替代的。母亲是孩子情感依赖的主要角色，如果母亲在与孩子的接触中，不能控制自己的情绪，那么孩子长大之后很可能会情绪调节失衡。有本书中说：“对大多数的成年人而言，即使一生只跟母亲发生过一次问题，心中就会存在一个说话、行为和反应跟童年时期一模一样的‘母亲复本’。”母亲情绪不稳定，一会对孩子赞赏有加，一会对孩子大声呵斥，这会造成造成孩子长大后戒备心重，缺乏信任。总是对孩子抱怨，朝孩子吐苦水，也会把孩子变成一个消极的人。母亲的情绪决定家庭的温度，在家庭生活中学会控制自己的情绪，要发火前深呼吸，以微笑面对家人，对待爱人、孩子多用表扬多夸奖，不要总是看到不足的地方。在合肥张家，母亲陆英是个能很好控制自己的情绪的人。她自结婚后与丈夫从未红过脸，处处周到讨得婆婆欢心，对待儿女从不歇斯底里疾言厉色，她用自己良好的情绪为家庭及儿女成长撑起了一把保护伞。