2015年中级计量A中期作业题-(1)

2014级中级计量经济学A中期练习题中国金融研究中心龙夕左2140202041811、分别从数理和经济的角度，简述对每一条古典假定的含义和作用的理解。（1）零条件均值假定：(|)0EuX,iu的条件均值为零。其作用是它可以保证估计量的无偏性。（2）球形扰动假定：2(|)VaruXI，随机扰动项的方差-协方差矩阵为同方差且无自相关同时成立时的情况。其作用是保证参数估计的有效性。（3）外生性假定：()0EXu，即解释变量与扰动项不相关，表示随机扰动项中不包含有解释变量的任何信息。其作用是保证参数估计的一致性，这是最重要的也是最基本的假定，若违反了此假定参数估计也变得没有意义。（4）满秩性条件：()RankXXk，含义是解释变量无共线性，作用是为了保证条件期望的唯一性，参数可求解。（5）正态性条件：2(0,)uNI，含义是扰动项服从正态分布，主要与统计检验和推断有关，作用是使得参数服从正态分布，从而对参数进行估计，但在大样本的条件下，根据中心极限定理这个条件是可以放宽的。2、对线性回归模型YXu，试用最小二乘法和极大似然法估计参数和随机扰动项的方差2，并且说明和比较在满足古典假定的条件下，参数与扰动项方差2的估计量的性质。最小二乘法（OLS）估计的参数β估计量1ˆ()XXXY，随机扰动项方差σ2的估计量2ˆeenk；极大似然估计法（ML）估计的参数β估计量1ˆ()MLXXXY，随机扰动项方差σ2的估计量21ˆˆˆ()()MLMLMLYXYXn。与OLS的2的估计参数不一样，差别在分母上。在满足古典假定的条件下，OLS对的估计量是最佳线性无偏估计（BLUE）,对2的估计量是一致最小方差无偏估计（UMVUE）。具有线性特性、无偏性和有效性，线性估计量不仅比非线性估计量更为简单，计算更为方便，并且线性估计量比较容易确定其概率分布性质。ML与OLS对的估计量是一样的，对随机扰动项方差σ2的估计量与OLS的估计参数不一样是对σ2的有偏估计，但是一致估计量。3、说明在一般线性框架下，检验统计量()()RUURSSRSSqFRSSnk的内在含义。在一般线性框架下，检验统计量()()RUURSSRSSqFRSSnk的内在含义是对多元回归模型122ukkYXX的统计检验，进行一般的线性假设（原假设），并拟合一个受约束的回归，用受约束模型的残差平方和与无约束模型的残差平方和之差RURSSRSS的大小即可来推断原假设是否成立，即参数估计是否具有显著性。4、简述LR、Wald、LM三大检验的基本原理和思路步骤；LR检验：基本原理：常适用于线性约束的检验，需要估计有约束和无约束的对数似然值。对大样本来说，统计量222ˆˆ2ln2ln(,)ln(,)()LRLLq，2ˆˆ(,)L是无约束的最大似然值，2(,)L是有约束条件的最大似然值。具体地，统计量LR如果很大，则应拒绝原假设，或者说似然比检验的拒绝域为21()LRq，其中21()q为卡方分布的1下侧分位数。思路步骤：把1ˆ()MLXXXY与21ˆˆˆ()()MLMLMLYXYXn代入似然函数得无约束的最大似然值2ˆˆ(,)L；检验假设:0oHRr；最大化ln()LRr，可得约束条件下的，此时的残差为**ˆYXYXe，而2的带约束的极大似然估计为2**een，最后计算约束条件下的最大似然值2(,)L；④求得LR，并进行LR检验。Wald检验：基本原理：适用于线性约束和非线性约束检验，只需估计无约束的模型。思路步骤：Wald检验的一般公式可表述为：对于原假设0:()0Hc（是未知参数），12ˆˆˆ()'[()]()()WcVarccq。如果的值大于卡方分布的上侧分位数，则拒绝原假设。LM检验：基本原理：适用于线性约束和非线性约束检验，只需估计有约束模型。对于大样本来说，22()LMnRq，当22nR(卡方分布的上侧分位数)时，则拒绝原假设。思路步骤：LM检验方法实际上是从一个较简单的模型开始，检验是否可以增加新变量，第一步就是对简单模型(变量较少)回归，得到残差*e。如果“真实”模型变量很多，则这些变量加入模型应对*e有影响。所以第二步*e对所有变量回归而得到的2R的大小就将直接决定是否应该增加新变量，即约束Rr是否成立。如果2R很大(22nR)，则说明新增变量对*e有显著影响，即真实模型应含较多变量，或者说对参数的约束(比如某些i为0)不成立。如果2R较小(22nR)，则说明新增变量对*e没有显著影响，真实模型就应是变量较少的简单模型，即约束条件成立。5、设定模型为YXu其中0EuX，'2()()VaruEuu模型的扰动项是非球型扰动。此时的普通最小二乘估计量有什么后果？通常用什么方法估计？White或Newey-West修正的作用是什么？模型的随机扰动项是非球型扰动时，OLS估计量具有下列特点：1）OLS估计量是无偏且一致的2）OLS估计量是非有效的。尽管模型的GLS估计量是一个最优的线性无偏估计量。但是，如果仍然做OLS回归，只能得到线性无偏但非最小方差的估计量。3）传统的OLS估计量的标准差不正确，以这些标准差为依据建立起来的传统的t检验也是无效的。使用White或Newey-West估计。White或Newey-West的修正作用在于：在OLS估计量在非球形扰动时，t值通常是被夸大的，而在White或Newey-West给出了估计量方差的真实改进。在仅存在异方差的情况下White估计量以2ie代替未知的2i，其中，ie是最初OLS估计的残差。且证明了112222212ˆˆ()ˆ,,,nVarXXXXXXdiageee是一个一致估计量。而且不需要对异方差形式作任何假定。此时，通常的t检验和F检验是渐进有效的。而一般的假设检验也可以用Wald统计量来完成。Newey和West提出了更一般的估计量。在存在未知形式的异方差和自相关时仍然是一致的。6、什么是内生性问题？它有什么后果？通常采用什么方法检验和修正？简述处理内生性的过程步骤。内生性问题：外生性假定被违背，即0jiExu，解释变量与扰动项相关，模型就会存在内生性问题。后果：由此产生的后果为最小二乘的估计量将是不一致的。方法：通常采用Hausman检验方法来检验，采用工具变量法来修正、估计模型。步骤：Hausman检验的具体步骤如下：第一，可能的内生变量2y对所有外生变量z回归，生成残差序列，得到的估计ˆ；第二，将ˆ加入原模型结构方程11112ˆyzye，估计该结构方程；第三，如果ˆ的t值很小，则接受原假设，表明2y是外生的；如果ˆ的t较大，则拒绝原假设，表明2y是内生的。方法：工具变量法估计模型步骤：第一，需要找到一个可观测的工具变量z，且工具变量满足两个条件：1、z与误差项u不相关，cov,0zu；2、z与内生变量kx高度相关，或者说z与kx存在偏相关（即扣除其他外生变量的影响），即12211kkkxxxz，有0。第二，用工具变量z替代内生变量kx估计原模型。7、遗漏变量和无关变量选取的后果是什么？有哪些方法可以检验？遗漏变量的后果：1）如果遗漏变量与解释变量相关，则OLS估计量是有偏且不一致的估计量；2）如果遗漏变量与解释变量不相关，解释变量的估计量即便满足无偏性和一致性，但是截距项的估计也是有偏的；3）解释变量方差的估计值与真实的方差有偏；4）随机扰动项的方差的估计值也是有偏的；5）与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计等都容易导致错误的结论。遗漏变量设定误差的检验方法有多种，如DW检验、拉格朗日乘数（LM）检验、一般性检验（RESET）、豪斯曼（Hausman）检验等。无关变量选取的后果：1）参数的OLS估计量是无偏，且为一致性的；2）随机扰动项的方差的估计仍为无偏估计；3）通常的区间估计和假设检验程序依然有效；4）解释变量的估计量将不是有效估计量。对于是否误选无关变量的检验，只要针对变量系数是否为零的假设，用t检验或F检验，对可能误选的无关变量系数作显著性检验即可。1、误选无关变量的检验（t检验、F检验）：基本思想是对无关变量系数的显著性进行检验。12233iiiKKiiYXXXuni,,2,11）t检验：检验kX是否为无关变量，即检验0H:0k；1H：0k)(~)ˆ(ˆkntestkk若/2()ttnk，接受0H；若/2()ttnk，拒接0H。2）F检验是对模型的部分变量是否多余的检验。比如检验32,XX是否为无关变量，即检验约束条件是否成立。0H:032；1H：)3,2(jj不全为零在0H成立的条件下，用F统计量对假设进行检验。()/~(,)/()RSSRSSmFFmnkRSSnk有约束无约束无约束其中，RSS表示残差平方和；m表示约束个数，n表示样本容量；k表示非约束模型中被估参数的个数。若(m,n-k)FF，约束条件成立。若(m,n-k)FF，约束条件不成立。2、相关解释变量遗漏的检验1）残差图示法残差图示法可以初步判断是否有相关变量的遗漏或函数形式的设定偏误。我们曾在考察模型是否存在异方差、自相关时用过该方法。许多情况下，异方差性、自相关性往往是由于模型设定时遗漏了重要的解释变量引起的。对所设定的模型进行OLS回归，得到估计的残差序列te；做出te与时间t或某解释变量X的散点图，考察te是否有规律在变动，以判断是否遗漏了重要的解释变量或选取了错误的函数形式。2）DW检验DW检验的基本思想是，遗漏的相关变量应包含在随机扰动项中，那么回归所得的残差序列就会呈现单侧的自相关性，因此可从自相关性的角度检验相关变量的遗漏。从遗漏变量的模型看，可以认为遗漏变量模型是无遗漏变量模型的一个特例，被遗漏变量3X的系数为0。如：正确模型：12233iiiiYXXu被称为无约束模型误设模型：iiiXY221被称受无约束模型DW检验的具体步骤：a)对回归模型运用OLS法得残差序列b）设0H:设定的模型无遗漏变量；1H：模型有遗漏变量按遗漏解释变量的递增次序对残差序列ie进行排序。3）拉格朗日乘数（LM）检验拉格朗日乘数（LM）检验的基本思想是，既然模型中遗漏的相关变量包含在随机扰动项中，因此随机扰动项或回归所得的残差序列应与遗漏的相关变量呈现出某种依存关系。那么，我们可以进行残差序列与相关变量的回归，在一定显著水平下若相关变量具有统计显著性，则认为存在遗漏变量形成的设定偏误，若相关变量不具有统计显著性，则认为没有遗漏变量形成的设定误差。具体步骤如下：a）对可能存在遗漏变量的设定模型（受约束回归模型）进行回归，得残差序列ie；b）用残差序列ie对全部的解释变量（包括遗漏变量）进行回归，得可决系数2R；c）设定0H:受约束回归模型；1H:无约束回归模型。大样本情况下，构造检验统计量2nR，2nR渐近服从2分布d）进行显著性检验的判断：2nR2()m,则拒绝0H，认为受约束模型不成立，存在遗漏变量（m为约束个数）；否则接受0H，认为受约束模型成立，无遗漏变量。8、y对一个常数、1x和2x的多元回归结果如下：12ˆ30.80.6yxx，260600R，30n128001'02468400612XX模型满足古典的假设条件，根据这些结果，检验两个斜率之和为1.5的假设。解：由12ˆ30.80.6yxx可知β=3，β=0.8，β=0.6构造原假设H0=β+β=1.5H1=β+β1.5由260600R=（TSS-RSS）/TSS可知RSS=540令：R=(0,1,1)r=1.