物理第十三章振动

第13章振动机械振动:物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动.广义振动:任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化.振动分类:振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动(简谐振动)任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.振动是一种普遍的运动形式.简谐运动最简单、最基本的振动.简谐运动最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解本章主要讨论简谐振动和振动的合成。内容：1.简谐振动动力学2.简谐振动运动学3.简谐振动的能量4.简谐振动的合成*5.阻尼振动受迫振动共振重点：简谐振动的证明、特征量、运动方程、合成§13.1简谐振动动力学弹簧振子ma=0dd222=+xtxωmk=2ω令xa2ω−=xxFmo1.动力学方程受力(简谐振动的判据)mkω=固有圆频率其决定于振子的劲度系数(k)与质量(m)Fkx=−简谐振动的动力学方程1.结构特征3.动力学方程动力学方程固有圆频率其决定于单摆的固有性质作小幅振动时为简谐振动(摆角为振动量)θlmG=mgT0θsinG不变形轻绳(质量不计)，球可视为质点阻力不计(自由振动)05sinθθθ→≈2.受力特点准线性恢复力=-mgθ0θlgdtθd22=+lg≡ω切向受力小角度单摆：θsinmg−=规定逆时针为正方向mgθ−tma=dtdvm=220dmlmgdtθθ∴+=0222=+∴θωθdtd令22dmldtθ=例13－1一立方体木块浮于静水中，质量为m。若把木块完全压入水中，然后放手任其运动，在不计水对木块的粘滞阻力时，求证木块的运动是简谐振动。abx0xb−x0xmg浮力FmamgFF=−=浮力合力mamggxbS=−−水ρ)(mggSb=水平衡位置，ρ∵22dtxdmgxS=−∴水ρ0222=+∴xdtxdω)(2mgS水ρω=木块的运动是简谐振动.cos()xAtωϕ=+2.运动学方程0dd222=+xtxω简谐振动的动力学方程其通解为：——简谐振动的运动学方程A、ϕ由初始条件所决定cos()sin()2ttπωϕωϕ+=++2πϕϕ′=+令sin()xAtωϕ′=+dsin()dxAttωωϕ==−+v222dcos()dxaAttωωϕ==−+cos()xAtωϕ=+——简谐振动的运动学方程谐振的速度与加速度(1).速度(2).加速度cos()xAtωϕ=+sin()Atωωϕ=−+v2cos()aAtωωϕ=−+otTxa2Tv43T4T01ϕω==cos()xAtωϕ=+ωπ2=T周期cos[()]AtTωϕ=++cos[2]At3.描述简谐振动特征的物理量ωϕπ=++角频率ω描述谐振运动的快慢。仅与振动系统本身的物理性质有关。2Tωπ⇒=频率ν：单位时间内振动的次数。1）周期、频率、圆频率周期T：物体完成一次全振动所需时间。12Tωνπ==周期、频率、圆频率对弹簧振子12Tωνπ==22Tπωπν==kmTπ2=mkπν21=mk=ω固有周期、固有频率、固有角频率2Tπω=单摆glTπ2=lgπν21=lg=ωmaxxA=解得22020ωvxA+=cos()sin()xAtdxvAtdtωϕωωϕ=+==−+00cossinxAvAϕωϕ==−2）振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。000,,txxvv===若已知初始条件——由初始条件和系统本身情况决定3）相位和初相——相位，描述振动状态的物理量tωϕ+cos()xAtωϕ=+sin()dxvAtdtωωϕ==−+2222cos()dxaAtxdtωωϕω==−+=−方向运动向处以速率质点在xvAx−=2,2Ax=ωAv23−=例：当3tπωϕ+=时：当53tωϕπ+=时：,2Ax=ωAv23=方向运动向处以速率质点在xvAx+=23）相位和初相——相位，描述振动状态的物理量tωϕ+cos()xAtωϕ=+sin()dxvAtdtωωϕ==−+2222cos()dxaAtxdtωωϕω==−+=−ϕ是t=0时刻的相位——初相0cosxAϕ=0sinvAωϕ=−00tanvxϕω=−——由初始条件和系统本身情况决定相位(1)ωt+ϕ是t时刻的相位(2)ϕ是t=0时刻的相位——初相(3)相位的意义:()cos()ϕ=+xtAωtcos()ϕ=−+2aωAωtsin()ϕ=−+vωAωt¾相位ωt+ϕ已知则振动状态确定¾相位改变2π振动重复一次¾相位2π范围内变化,状态不重复ωtxOA-AΔϕ=2π)cos()(ϕ+=tωAtxϕcos0Ax=)sin(ϕ+−=tωAωvϕsin0Aω−=v22020ωvxA+=)xωv(tg001−=−ϕ振幅与初相决定于初态cossinϕϕϕ⇒由大小和的符号决定00cossinxAvAϕϕω=−=t=0t=00cosxAϕ==∵π2ϕ∴=±0sin0Aωϕ=−∵vπsin02ϕϕ∴=取0,0,0==vxt已知求ϕ讨论xvoAA−xT2TtoAx0xt0t由振动曲线判断初相：（2）与初相为零的余弦函数比较002ttTϕπω=−⋅=−∴0arccosxAϕ=−为四象限角（1）sin0ϕ00cos0sin0xAvAϕωϕ==−0vcos()xAtωϕ=+sin()dxvAtdtωωϕ==−+例13－3一弹簧振子竖直悬挂时，弹簧伸长9.8cm。现在使它在光滑水平面上做简谐振动。设当物体位于x轴正方向离开平衡位置4.0cm处时受到冲击力，使物体以指向平衡位置的30cm/s的速度开始做简谐振动。试写出运动方程式。cos()xAtωϕ=+klmg竖直悬挂：=sradlgmk/10===∴ωscmvcmxt/30,0.4000−===时，mvxA05.022020=+=∴ωπωϕ2056.0)(arctg000≈−=xv解题思路:已知：k.m.h.完全非弹性碰撞求：T,A,0ϕmhmk解：振动系统为（2m,k)∴,2mk=ωkmT22π=以物块和平板开始共同运动时刻为t=0以平衡位置为坐标原点，向下为正。022mvghm=020=∴ghvmhmk0=t0v0xxo完全非弹性碰撞：ππωϕ+=+−=∴mgkhxvarctg)(arctg000mgkhkmgvxA+=+=∴122020ω0ϕ为三象限角0sin0cos0000−==ϕωϕAvAxmhmk0=t0v0xxo碰撞前弹簧压缩l0,碰撞后l1，则系统初始位置)(010llx−−=kmg−=XOt=0时刻ϕx0ωt时刻ωt+ϕxcos()xAtωϕ=+用旋转矢量定相位例：x0=A/2υ00ϕ=?mυmυx0x0ω答：3πϕ−=4.旋转矢量法cos()sin()xAtvAtωϕωωϕ=+=−+cos()xAtωϕ=+旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xA旋转矢量简谐振动模振幅A角速度角频率旋转周期振动周期t=0时，与x轴的夹角初相t时刻，与x轴的夹角相位在x轴上的投影位移AAAωϕtωϕ+cos()xAtωϕ=+旋转矢量与简谐振动的对应关系：A（旋转矢量旋转一周所需的时间）ωπ2=T用旋转矢量图画简谐运动的图tx−旋转矢量与振动曲线txx旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量便于解题,特别是确定初相便于振动合成由x.v的符号确定所在的象限Aπϕ23=0=ϕπϕ=2πϕ=00vx00vx00vx00vxωAcos()sin()xAtvAtωϕωωϕ=+=−+AA−x2AtoabxAA−0讨论¾相位差：表示两个相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(0102ϕωϕωϕ+−+=Δtt)cos(01ϕω+=tAx)cos(02ϕω+=tAxωϕΔ=−=Δ12tttatω3π=ΔϕTTt61π23π==ΔϕΔv2Abt例13－4一质点沿x轴做简谐振动，振幅为A，周期为T。（1）当t＝0时，质点对平衡位置的位移x0＝A/2，质点向x轴正方向运动，求质点振动的初相；（2）质点从x＝0处运动到x=A/2处最少需要多少时间？x2Aωxω3πϕ=−Ttππωϕ26=Δ=Δ0=Δϕxto同步2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(0111ϕω+=tAx)cos(0222ϕω+=tAx)()(0102ϕωϕωϕ+−+=Δtt0102ϕϕϕ−=ΔxtoϕΔ为其它超前落后txoπ±=Δϕ反相练习如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；1mN72.0−⋅=kg20=mm05.0=xm05.0=x10sm30.0−⋅=v3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.2A2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；m/xo0.05ox解（1）11s0.6kg02.0mN72.0−−=⋅==mkωm05.0022020==+=xxAωvA由旋转矢量图可知0ϕ=cos()xAtωϕ=+])s0.6cos[()m05.0(1t−=oxA2AωA3π=tω由旋转矢量图可知tAωωsin−=v1sm26.0−⋅−=（负号表示速度沿轴负方向）Ox2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；解m0707.022020=+=ωvxA＇ox＇Aω4π−cos()xAtωϕ′′′∴=+]4π)s0.6cos[()m0707.0(1−=−tm05.0=x10sm30.0−⋅=v（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.旋转矢量图可知π4ϕ=−＇练习一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4=xm04.0处，向轴负方向运动（如图）.试求Ox（1）时，物体所处的位置和所受的力；s0.1=to08.0−04.0−04.008.0m/xvo08.0−04.0−04.008.0m/xπ03ϕ∴=∵0vAω3π]3π2cos[08.0+=tπ解m08.0=A1s2ππ2−==Tωcos()xAtωϕ=+o08.0−04.0−04.008.0m/xv]3π2πcos[08.0+=tx10.069mtx==−xmkxF2ω−=−=N1070.13−×=kg01.0=mo08.0−04.0−04.008.0m/xω3π3π起始时刻时刻ttω3π=tωs667.0s32==t1s2π−=ω（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0−=x简谐运动的描述和特征xa2ω−=4）加速度与位移成正比而方向相反xtx222ddω−=2）简谐运动的动力学描述)cos(0ϕω+=tAx3）简谐运动的运动学描述=ωmk弹簧振子lg=ω单摆kxF−=1）物体受线性回复力作用平衡位置0=x以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为xsin()vAtωωϕ=−+cos()xAtωϕ=+212kEmv=221sin()2kAtωϕ=+212pEkx=221cos()2kAtωϕ=+谐振动的动能和势能是时间的周期性函数§13.3简谐振动的能量动能221mvEk=221sin()2kAtωϕ=+势能212pEkx=221cos()2kAtωϕ=+情况同动能maxmin,,pppEEE0min=kE2114tTkktEEdtkAT+==∫2max21kAEk=机械能221kAEEEpk=+=简谐振动系统机械能守恒简谐运动能量图tx−t−v221kAE=0ϕ=tAxωcos=tAωωsin−=vv,xtoT4T2T43T能量oTttkAEω22pcos21=tAmEωω222ksin21=简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE=EBCA+A−pExO能量守恒简谐运动方程推导常量=+=222121kxmEv0)2121(dd22=+kxmtv0dddd=+txkxtmvv0dd22=+xmktx例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：