2018年高中数学竞赛初赛试题

2018年高中数学竞赛初赛一、填空题（每题7分，共10题，共70分）1.函数y=│cosx│-cos2x（x∈R）的值域2.已知（a+bi）2=3+4i，其中a,b∈R，i是虚数单位，则a2+b2=3.圆心在抛物线x2=2y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程4.设函数f（x）=x24-1x-x，则不等式f（1-x2）+f（5x-7）0的解集为5.已知等差数列{an}的前12项的和为60，则321aaa+...+12a的最小值6.已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为7.在△ABC中，AB=5,AC=4，且=12，设P为平面ABC上一点，则的最小值为8.设g（n）=nknk1),(，其中n∈N*，（k,n）表示k与n的最大公约数，则g（100）的值为9.将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3×3的方格表中，每个小方格填一个数，且所填各部相同，则使每行，每列所填数之和都是奇数的概率是（第9题图）10.在1,2,3,4，...1000中，能写出a2-b2+1（a,b∈N）的形式，且不能被3整除的数有个二、解答题（每题20分，共4题，共80分）11.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆O的方程为x2+y2=4,过P（0,1）点的直线l与圆O交于A,B，与x轴交于Q，设，，求证：与为定值.yAPQOxB（第11题图）12.已知{an}是公差为d的等差数列，且a1+t2=a2+t3=a3+t.(1).求实数t,d的值；(2).若正整数满足m＜p＜r，am-2m=ap-2tp=ar-2tr=0，求数组（m，p，r）和相应的通项公式an。13.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于P，△ABD与△ABC的内心分别为I1和I2，直线I1I2分别与AC,BD交于M,N，求证：PM=PN.CDPI1I2NMAB（第13题图）14.从1,2,3,4.......，2050这2050个数中任取2018个组成集合A，把A中的每个染上红色或蓝色.求证：总存在一种染色方法使得每600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：①这600个红数的和等于这600个蓝数的和；②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.