n维向量知识点

𝑛维向量𝑛维向量及其线性运算定义2.1.1𝑛个有顺序的数𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛所组成的𝑛元有序数组(𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛)称为𝑛维向量。一般用小写希腊字母𝜶，𝜷，𝜸，⋯表示，即，𝜶=(𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛)。数𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛称为向量𝜶的分量（或坐标），𝑎𝑖称为𝜶的第𝑖个分量（或坐标）。定义2.1.2设𝜶=(𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛)，𝜷=(𝑏1,𝑏2,⋯,𝑏𝑛)都是𝑛维向量，则向量(𝑎1+𝑏1,𝑎2+𝑏2,⋯,𝑎𝑛+𝑏𝑛)称为向量𝜶与𝜷的和，记为𝜶+𝜷，即有𝜶+𝜷=(𝑎1+𝑏1,𝑎2+𝑏2,⋯,𝑎𝑛+𝑏𝑛)。用负向量的概念可以定义向量的减法，即有𝜶−𝜷=𝜶+(−𝜷)=(𝑎1−𝑏1,𝑎2−𝑏2,⋯,𝑎𝑛−𝑏𝑛)。定义2.1.3设向量𝜶=(𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛)，𝜆为实数，则向量(𝜆𝑎1,𝜆𝑎2,⋯,𝜆𝑎𝑛)称为数𝜆与向量𝜶的乘积，简称为数乘，记作𝜆𝜶，即有𝜆𝜶=(𝜆𝑎1,𝜆𝑎2,⋯,𝜆𝑎𝑛)。定义2.1.4给定向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚和向量𝜷，如果存在一组实数𝜆1,𝜆2,⋯,𝜆𝑚，使𝜷=𝜆1𝑎1+𝜆2𝑎2+⋯+𝜆𝑚𝑎𝑚成立，则向量𝜷称为向量组𝐴的一个线性组合，其中𝜆1,𝜆2,⋯,𝜆𝑚称为这个线性组合的系数，这时也称为向量𝜷能由向量组𝐴线性表示。定义2.1.5设有两个向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚及𝐵:𝜷1,𝜷2,⋯,𝜷𝑚，如果𝐵组中每个向量都能由向量组𝐴线性表示，则称向量组𝐵能由向量组𝐴线性表示，如果向量组𝐴与向量组𝐵能相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组的线性相关性定义设向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚，如果存在一组不全为零的实数𝑘1,𝑘2,⋯,𝑘𝑚，使得等式𝑘1𝑎1+𝑘2𝑎2+⋯+𝑘𝑚𝑎𝑚=0.成立，那么向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚称为线性相关的。否则向量组𝐴称为线性无关。如果向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚线性无关，且上述等式成立，则只有𝑘1=𝑘2=⋯=𝑘𝑚=0。定理2.2.1向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚(𝑚≥2)线性相关的充分必要条件是向量组𝐴中至少有一个向量能由其余𝑚−1个向量线性表示。定理2.2.2设向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚线性无关，而向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚,𝜷线性相关，则𝜷能由向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚线性表示，且表示式是唯一的。定理2.2.3（替换定理）设有向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟与向量组𝐵:𝜷1,𝜷2,⋯,𝜷𝑠如果满足条件（1）向量组𝐴线性无关；（2）向量组𝐴能由向量组𝐵线性表示；则必有𝑟≤𝑠，并且𝐵中存在𝑟个向量用𝐴替换后得到的向量组与𝐵等价。推论2设有向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟与向量组𝐵:𝜷1,𝜷2,⋯,𝜷𝑠，如果满足条件（1）𝑟𝑠；（2）向量组𝐴能由向量组𝐵线性表示；则向量组𝐴必线性相关。推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等定理2.2.4若向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟线性相关，则再任意添加上𝑚−𝑟个向量的向量组𝜶1,⋯,𝜶𝑟,𝜶𝑟+1,⋯,𝜶𝑚也线性相关。定理2.2.5如果𝑟维向量组𝜶𝑖=(𝜶𝑖1,𝜶𝑖2,⋯,𝜶𝑖𝑟)(𝑖=1,2,⋯,𝑚)线性无关，则对每个向量再各添上一个分量后，得到的𝑟+1维向量组𝜷𝑖=(𝜶𝑖1,𝜶𝑖2,⋯,𝜶𝑖𝑟,𝜶𝑖,𝑟+1)(𝑖=1,2,⋯,𝑚)也线性无关。推论3如果一个𝑟维的向量组线性无关，并对向量组中每个向量的第𝑘(1≤𝑘≤𝑚)分量前（后）再填上任意个𝑛−𝑟个分量，则这样得到的一个𝑛维向量组也线性无关；反言之，如果得到的𝑛维向量组线性相关，则原来的𝑟维向量组也线性相关。向量组的秩定义2.3.1设有向量组𝐴，如果在𝐴中有𝑟个向量𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟满足（1）向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟线性无关（2）𝐴中任意向量都能由向量组线性表示则𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟称为向量组𝐴的一个最大线性无关组，简称最大无关组。性质1向量组与它的任一个最大无关组都等价。性质2向量组的任意两个最大无关组都等价。性质3一个向量组的任意两个最大无关组所含的向量个数相等。性质4一个向量组线性无关的充分必要条件是它的最大无关组就是向量组本身。定义2.3.2一个向量组𝐴的最大线性无关组所含向量个数，称为向量组的秩，记为𝑅(𝐴)或𝑟(𝐴)。定理2.3.1向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。定理2.3.2设向量组𝐴的秩为𝑟1，向量组𝐵的秩为𝑟2，如果向量组𝐴能由向量组𝐵线性表示，则必有𝑟1≤𝑟2。推论1等价的向量组有相同的秩。推论2当𝑚𝑛时，𝑚个𝑛维向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚必线性相关定理2.3.3给定𝑛维向量组𝐴:𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑚及向量𝜷，则有（1）向量𝜷能由向量组𝐴线性表示的充分必要条件是𝑅(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟,𝜷)=𝑅(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟);（2）向量𝜷能由向量组𝐴唯一线性表示的充分必要条件是𝑅(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟,𝜷)=𝑅(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟)=𝑚;（3）向量𝜷能由向量组𝐴线性表示，但表示法不唯一的充分必要条件是𝑅(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟,𝜷)=𝑅(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟)𝑚.向量的空间定义2.4.1设𝑉是𝑛维向量的一个非空集合，如果集合𝑉对于向量的加法和数乘两种运算封闭，即对任意的𝜶∈𝑉,𝜷∈𝑉,𝑘∈𝑉，都有𝜶+𝜷∈𝑉,𝑘𝜶∈𝑉，则𝑉称为向量空间。定义2.4.2设𝑉为一个空间向量，如果𝑉中有𝑟个向量𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟满足（1）向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟线性无关（2）𝑉中任一向量𝜶都可由向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟线性表示则向量组𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟称为向量空间𝑉的一个基，该基中包含的向量个数𝑟称为向量空间𝑉的维数，并称𝑉为𝑟维向量空间，记为𝑑𝑖𝑚𝑉=𝑟。定义2.4.3设𝑟维向量空间𝑉的一个基为𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟，向量𝜶∈𝑉在这组在这组基下的线性组合为𝜶=𝑥1𝑎1+𝑥2𝑎2+⋯+𝑥𝑟𝑎𝑟。则𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑟称为向量𝜶在基𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟下的坐标，记为(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑟)。定义2.4.4设𝑉1,𝑉2是两个空间向量，且𝑉1=𝑉2，则𝑉1⊂𝑉2，则𝑉1称为𝑉2的向量子空间，简称钻子空间。定理2.4.1设向量空间𝑉1是空间向量𝑉2的子空间，如果𝑑𝑖𝑚𝑉1=𝑟,𝑑𝑖𝑚𝑉2=𝑠，则必有𝑟𝑠。