自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章

第二章：控制系统的数学模型§2.1引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。·建模方法实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式复域：传递函数时域：微分方程§2.2控制系统时域数学模型1、线性元部件、系统微分方程的建立（1）L-R-C网络CruRidtdiLuciCucccuuCRuCL11cccrRuuuuLLCLC──2阶线性定常微分方程（2）弹簧—阻尼器机械位移系统分析A、B点受力情况02B0AAAi1xk)xxf()xx(k由A1Ai1xk)xx(k解出012iAxkkxx代入B等式：020012ixk)xxkkxf(02012ixkx)kk1f(xf得：i1021021xfkxkkxkkf──一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机电枢回路：baEiRu┈克希霍夫电枢及电势：mebCE┈楞次电磁力矩：iCMmm┈安培力矩方程：mmmmmMfJ┈牛顿变量关系：mmbaMEiu消去中间变量有：ammmmukT传递函数时间函数CCfRCkCCfRRJTmemmmmemmm（4）X-Y记录仪（不加内电路）ll4p3m2ammmm1aprku:k:k:ukT:uku:u-uu:电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点amrpuuuul消去中间变量得：am321m4321mukkkkkkkkkTlll─二阶线性定常微分方程即：amm321mm4321muTkkkklTkkkkklT1l2、线性系统特性──满足齐次性、可加性线性系统便于分析研究。在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。非线性元部件微分方程的线性化。例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0处的线性化增量方程cosEy0解：在0处线性化展开，只取线性项：0000sinEyy令0y-yy0得00sinEy3、用拉氏变换解微分方程aulll222（初条件为0）s2s2UsL22ss:La222sss2sL2sLLt:L-11l复习拉普拉斯变换的有关内容1复数有关概念（1）复数、复函数复数js复函数yxjFFsF例：j22ssF（2）复数模、相角xy2y2xFFarctgsFFFsF（3）复数的共轭yxjFFsF（4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。2拉氏变换定义dtetftfLsFst0：像：像原F(s))t(f3几种常见函数的拉氏变换1.单位阶跃：0t10t0t1s110s1es1dte1t1L0st0st2.指数函数：0te0t0)t(fatas1)10(as1eas1dtedtee)]t(f[L0t)as(0tasst0at3.正弦函数：0ttsin0t0)t(f22220t)js(0t)js(0)tjs()tj-(s-st0tjtj0stss2j2j1js1js12j1ejs1ejs12j1dtee2j1dteee2j1dtetsin)t(fL4拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质：)s(bF)s(aF)t(bf)t(afL2121（2）微分定理：0fsFstfLstst00-stst00st0ftedtedfteftftde0-f0sftedtsFsf0证明：左右nn-2n1nn-1n-2LftsFssf0sf0sf0f0进一步：零初始条件下有：sFstfLnn例1：求tLt1t解：1010s1st1LtL例2：求tcosL解：2222ssss1tnsiL1tcos（3）积分定理：0fs1sFs1dttfL1-（证略）零初始条件下有：sFs1dttfL进一步有：0fs10fs10fs1sFs1dttfLn21n1nnnn例3：求L[t]=?解：dtt1t20ts1ts1s1s1dtt1LtL例4：求2tL2解：tdt2t230t222s12ts1s1s1tdtL2tL（4）位移定理实位移定理：sFe-tfLs例5：sF0t01t010t0tf求解：)1t(1)t(1)t(fsse1s1es1s1sF虚位移定理：a-sFtfeLat（证略）例6：求ateL:解as1et1LeLatat例7：223ss223t-53s3s5sscos5teL例8：)15t(5coseL)35t(coseL2t2t222s152ss22s15-52s2se5sse（5）终值定理（极限确实存在时）sFslimftflim0st证明：由微分定理0fssFdtetfst0取极限：0fssFlimdtetflim0sst00s0fssFlim0fftfdt1tfdtlimetf0s000sst0右左∴有：ssFlimf0s证毕例9：bsass1sF求f解：ab1bsass1slimf0s例10：0sslimtsinf220st拉氏变换附加作业一．已知f(t),求F(s)=?1-tT111T1).f(t)1-eFs11ssssTT22221s0.122).f(t)0.03(1cos2t)F(s)0.03ss2ss2s15222250.866s2.53).f(t)sin(5t)F(s)e3s5s50.4t222s0.4s0.44).f(t)ecos12tF(s)s0.8s144.16s0.41205).f(t)t11tt0ts0211tseFss223s2s86).F(s)f?f(0)?f()1,f(0)0ss2s2s4已知求二．已知F(s),求f(t)=?222s5s11).F(s)f(t)1cost-5sintss14t24ts2).F(s)f(t)17ecos(t14)s8s17ecost4sintt10t321119t3).F(s)f(t)ees21s120s10081812-2tt23s2s84).F(s)f(t)1-2eecos3tss2(24)sst3t2s221315).F(s)f(t)(t)ee32412ss1s35.拉氏反变换(1)反变换公式：jjstdse).s(Fj21)t(f(2)查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)f(t),)as(s1)s(1.F求例as1s1a1)as(ss-a)(sa1)s(.F解ate1a1)t(f微分方程一般形式：rbrbrbrbCCaCaCm1-m)1-m(1)m(01-n)1-n(1)n()0(:L设初条件为R(s)bsbsbsb)s(Casasasasm1-m1m1m0n1-n2-n21-n1n)s(A)s(R).s(Basasasas)R(s)bsbsbs(bC(s)n1-n2-n21-n1nm1-m1m1m0)ps()ps)(ps()s(R).s(Bn21n1iiinn332211pscpscpscpscpsc)s(C特征根:pin1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec)t(f模态:etpi)s(F的一般表达式为：rbrbrbrbCCaCaCm1-m)1-m(1)m(01-n)1-n(1)n(来自：（I）)mn(asasasasbsbsbsb)s(A)s(B)s(Fn1-n2-n21-n1nm1-m1m1m0其中分母多项式可以分解因式为：)ps()ps)(ps()s(An21(II))s(Api为的根(特征根)，分两种情形讨论：I：0)s(A无重根时：(依代数定理可以把)s(F表示为：)n1iiinn332211pscpscpscpscpsc)s(Fn1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec)t(f即：若ic可以定出来，则可得解：而ic计算公式：)s(F).ps(limcipsii(Ⅲ)ips'i)s(A)s(Bc(Ⅲ′)(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′))●例2：34ss2s)s(F2求?)t(f解：3sc1sc3)1)(s(s2s)s(F212131213)1)(s(s2s)1s(limc1sIII12113233)1)(s(s2s)3s(limc3sIII23s211s21)s(F3tte21e21)t(f●例3：34ss55ss)s(F22，求?)t(f解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)3)1)(s(s2s134ss2s3)4s(s)s(F223tte21e21)t()t(f●例4：j1scj-1scj)1j)(s-1(s3s22ss3s)s(F212解法一：2jj2j)1j)(s-1(s3s)j-1s(limcj1s12jj-2j)1j)(s-1(s3s)j1s(limcj-1s2j)t1(t)j1(e2jj-2e2jj2)t(fjt-jtte)j2(e)j2(e2j1（tcosj2ee,tsinj2eejtjtjtjt）)2sintcost(ej4sint2coste2j1tt1)1s(21)1s(1s1)1s(21s1