第22届高年级日本算术奥林匹克初赛试题讲解

学而思教研部李唯瑒第22届高年级日本算术奥林匹克初赛试题1、请在下面的每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立。【分析】观察发现，由于百位上61，所以在作加法时一定会进位，于是3C，于是有：360036992.12.316991600ABABB当B=1时，2.12.3A，A无解当B=2时，4.24.6A，A无解当B=3时，6.36.9A，A无解当B=4时，8.49.2A，A=9当5B时，10A，A无解于是A=9，B=42013949411，于是原式为41149201392、图中的天平，左右两个托盘的重量不相等。有五个小球A、B、C、D、E，重量分别为1克、2克、3克、4克、5克（不一定按顺序）。按照①~③的方法放到这架天平两端，都使得天平平衡。学而思教研部李唯瑒请分别求出A、B、C、D、E的重量。【分析】设左=右k（k可能为负）由三个天平可列得方程组：ABkCDEBDkACBEkAD①②③由②③得：2DCE由①的左边加②的右边等于①的右边加②的左边，得：222()ACECAE，于是可知C为偶数，即为2或4又由2DCE，于是E也为偶数，于是2243DD于是A、B为1和5，代入①，得：152343kk代入②、③，得：33633BACBACBEABEA由下式可知AB，于是A为5，B为1，代入上式，得C为2，于是E为4综上，A、B、C、D、E分别为5、1、2、3、43、有五张卡片，分别写有数字6、1、6、1、6。把它们排成一行，共能组成多少个不同的五位数？（其中6可以倒过来当作9）【分析】先把五张卡片排好，有2510C种排法，每种排法中，三张6都能倒过来当作9，因此共有310280个不同的五位数。4、如图所示，已知AB=AC=ED，AE=BE，∠CAB=120°，∠AFC=∠BED=90°，请求出∠x的度数【分析】如下图，由于BGECGF，90BGEEBGCGFFCG，于是，EBGFCG又由AB=DE，将三角形ABE旋转平移，使A、B与D、E重合学而思教研部李唯瑒GHDEABCF接下来，将AE、EH、HD延AD翻折GJIHDEABCF由于DH=HJ，22()2()60JDHFDHFDGEDHEBGx于是三角形DHJ是正三角形于是AE=EH=HJ=JI=IA又1202EAIx，(1802)601202IJHEHJEHDJHDxx，于是，IJHEHJEAI由IA=AE=EH=HJ，EAIEHJ于是三角形EAI与三角形EHJ全等于是EI=EJ于是EIJEJI又EIAEJH所以，AIJHJI同理，AEHEHJ于是IJHEHJHEAEAIAIJ所以AEHJI是正五边形所以，1081202IJHEHJHEAEAIAIJx于是，6x5、将两位数AB（A是十位数字，B是个位数字）进行如下操作：操作：将两位数AB换成十位数字A的平方与个位数字B之和，即AAB。例如，将65进行一次操作，得到6×6+5=41；再进行一次操作，得到4×4+1=17。这样操作下去，直到得到一位数为止。有一些连续的两位数，它们经过操作后能够得到同一个一位数。请找出四对这样学而思教研部李唯瑒的连续两位数。【分析】当9B时，连续的两位数为,(1)ABAB操作以后，变为,1AABAAB，两数仍然连续当9B时，连续的两位数为9,(1)0AA操作以后，变为9,(1)(1)AAAA，要求结果相等，则9(1)(1)4AAAAA于是，（49、50）操作以后会相同而24970，于是70操作以后会变为49，由上面讨论的第一种情况可知，71操作以后会变为51于是（70，71）操作以后会相同由27086，同理可知（86，87）操作以后会相同由28695，同理可知（95，96）操作以后会相同综上，（49，50）（70，71）（86，87）（95，96）为符合题意的四组数6、把大小相同的64个透明的小正方体箱子堆成一个4×4×4的大正方体。在若干个小正方体里面放入半透明的红玻璃球，从外面可以看到。图中是从上面、前面、侧面看的时候，能够看到的装有玻璃球的小箱数目。例如，箭头指向的“3”表示阴影部分的4个小正方体中恰有3个里面装有玻璃球。没有标数字的方格表示这个方格内的数字可以是0~4中的任意值。那么，在这64个小箱里面，共有多少个装有玻璃球？【分析】我们发现，上面的8个数表示了正方体中间32个小正方体中玻璃球的数量前面中间两行的2、3、3、2表示了左边中间8个和右边中间8个小正方体中玻璃球的数量此时还有四个角落所对应的16个小正方体的中的玻璃球数量未知发现右面的8个数字包含了这16个小正方体，但会有16个小正方体重复而重复的部分恰好是前面上下两行的0、1、3、1四个数字所对应的小正方体因此，玻璃球总数为：232132112332201324120131357、在下面的两个减法算式中，A、B、C、D、E、F表示1~9中的数字，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。学而思教研部李唯瑒那么，A、B、C、D、E、F分别代表哪个数字？【分析】观察右边的式子，由百位易知EC，于是在个位的减法上会向前借位所以十位上FF的结果为9，即E为9于是，由百位易知C为4，由个位知F为5此时还剩下1、2、3、6、7、8六个数字观察左边的式子由千位，知AD，AB于是A至少为3若A为3，由个位可知D为7，与AD矛盾，舍去若A为6，由个位可知D为0，与题设矛盾，舍去若A为7，由个位可知D为1，由十位知B为6，经检验764114676174，成立若A为8，由个位可知D为2，由十位知B为5，与F为5矛盾，舍去综上，A、B、C、D、E、F的值分别为7、6、4、1、9、58、在3×3的方格表的9个小方格中按照规则分别填入1~9中的一个数字。规则：同一行的方格中左边的数字比右边的大，同一列的方格中上边的数字比下边的大。那么，符合规则的填数方法共有多少种？【分析】由规则，1与9的位置可以确定如下：此时8有2个位置可填，由九宫格的对称性，可知无论两种填法的方法数一样多，因此讨论一种即可学而思教研部李唯瑒一、若A为7此时B一定为61、C为5，若D为4，3、2只有1种填法，若E为4，3、2有2种填法，共3种2、E为5，则C一定为4，此时3、2有2种填法二、若B为71、A为6若C为5，当D为4时，3、2只有1种填法，当E为4时，3、2有2种填法，若E为5，则C一定为4，此时3、2有2种填法共5种2、C为6若A为5，当D为4时，3、2只有1种填法，当E为4时，3、2有2种填法，若E为5，当A为4时，3、2有2种填法，当F为4时，3、2有1种填法，共6种3、E为6若A为5，则C一定为4，此时3、2有2种填法若C为5，当A为4时，3、2有2种填法，当F为4时，3、2有1种填法，共5种综上，共有2(5565)42种填法9、若干支足球队进行单循环赛，即每两支队之间比赛一场。如果胜方的净胜球数不小于2，则胜方得3分，败方得0分；如果胜方的净胜球数为1，则胜方得2分，败方得1分；没有平局。⑴如果共有12支球队参赛，某支球队6胜5败，请求出这支球队的得分的最大值和最小值；⑵已知在比赛结束后，某支球队A的获胜场数是单独最多，得分却是单独最少。另一方面，球队B的获胜场数是单独最少，得分却是单独最多。那么，进行单循环赛的球队至少有多少支？【分析】（1）最大值为：63523，最小值为：62012，（2）显然2支球队一定不行1、若有3支球队，则共比3场，A胜场单独最多，则只能为2场，即A全胜，至少4分，此时B有一负，得分至多为4分，不可能超过A，不行2、若有4支球队，则共比6场，A胜场单独最多，则至少为3场（若为2场，则4支球队胜场总和至多为2+1+1+1=5，小于6场，矛盾），即A至少3胜0负，至少6分，B胜场单独最少，则至多为0场，（若为1场，则4支球队胜场总和至少为2+2+2+1=7，大于6场，矛盾），即B至多0胜3负，至多3分，学而思教研部李唯瑒B不可能超过A，不行3、若有5支球队，则共比10场，A胜场单独最多，则至少为3场，即A至少3胜1负，至少6分，B胜场单独最少，则至多为1场，即B至多1胜3负，至多6分，B不可能超过A，不行4、若有6支球队，则共比15场，A胜场单独最多，则至少为4场，即A至少4胜1负，至少8分，B胜场单独最少，则至多为1场，即B至多1胜4负，至多7分，B不可能超过A，不行5、若有7支球队，则共比21场，A胜场单独最多，则至少为4场，即A至少4胜2负，至少8分，B胜场单独最少，则至多为2场，即B至多2胜4负，至多10分，此时，让C、D、E、F、G都为3胜3负，都得9分即可下面开始构造：A大比分负于B、C，小胜D、E、F、G，4胜2负得8分B大胜A、C，小比分负于D、E、F、G，2胜4负得10分C大胜A，大比分负于B，小胜D、E，小比分负于F、G，3胜3负得9分D小比分负于A、C、E，小胜B、F、G，3胜3负得9分E小比分负于A、C、F，小胜B、D、G，3胜3负得9分F小比分负于A、D、G，小胜B、C、E，3胜3负得9分G小比分负于A、D、E，小胜B、C、G，3胜3负得9分综上，至少有7支队伍比赛。10、如图所示，在四边形ABCD的各边上取点E、F、G、H、M，使得AE:EB=AF:FD=2:5，BG:GH:HC=3:2:2，CM=DM。再分别在EG和FH上取点P和Q，使得EP=PG，FQ=QH。请求出PQ:BM的比值。【分析】连接EF、BD，则，27EFBD，在BD上取点I、J，使得::3:2:2BIIJJD设IG、JH交BM于K、L由平行线分线段成比例可知K、L为IG、JH的中点连接PK、QL由P、K为中点，12PKEI学而思教研部李唯瑒同理，12QLFJ又由于，27EFBD，::3:2:2BIIJJD于是EF平行且等于IJ，即EFJI为平行四边形所以EI=FJ于是，PK平行且等于QL于是PKLQ为平行四边形所以PQ=KL于是，:::2:7PQBMKLBMIJBDKLJIQPMADBCFEGH