人教版八年级下册数学-第19章《一次函数》讲义-第21讲--一次函数与方程不等式的应用

第1页/共21页第21讲一次函数与方程不等式的应用第一部分知识梳理知识点一：一元一次方程与一次函数的关系直线ybk0kx（）与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程b0(0)kxk的解。求直线ybkx与x轴交点时，可令0y，得到方程b0kx，解方程得xbk，直线ybkx交x轴于(,0)bk，bk就是直线ybkx与x轴交点的横坐标。解一元一次方程0axb当0y时，求一次函数yaxb的x值（数的角度）0axb一次函数yaxb图象与x轴的交点坐标（形的角度）知识点二：一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为ab0x或ab0x(ba、为常数，0a)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。解一元一次不等式0kxb即一次函数ykxb在x轴上方的部分图象所对应的x值解一元一次不等式0kxb即一次函数ykxb在x轴下方的部分图象所对应的x值知识点三：一次函数与二元一次方程组（1）、以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcxba的图象相同。（2）、二元一次方程组222111cybxacybxa的解可以看作是两个一次函数第2页/共21页y=1111bcxba和y=2222bcxba的图象交点。（3）、一次函数的解析式ybk0kx（）本身就是一个二元一次方程，直线ybk0kx（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程ybk0kx（），因此二元一次方程的解也就有无数个。第二部分考点精讲精练考点1、一元一次方程与一次函数的关系例1、若方程x-3=0的解也是直线y=（4k+1）x－15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A、－1B、0C、1D、±1例2、已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A、B、C、D、例3、已知一次函数yxa与yxb的图象相交于点8m，，则ab______．例4、画出函数y=2x+1的图象，利用图象求：（1）方程2x+1=0的根；（2）不等式2x+1≥0的解；（3）求图象与坐标轴的两个交点之间的距离。例5、如图，直线L：221xy与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。第3页/共21页（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标。举一反三：1、方程2x+12=0的解是直线y=2x+12（）A、与y轴交点的横坐标B、与y轴交点的纵坐标C、与x轴交点的横坐标D、与x轴交点的纵坐标2、若直线221xy与直线axy41相交于x轴上，则直线axy41不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、已知一次函数ykxb的图象经过点20，，13，，则不求kb，的值，可直接得到方程3kxb的解是x______．4、已知一次函数y=kx－3，它的图象如图所示，A、B两点分别为图象与x轴、y轴的交点．（1）求此函数的解析式；（2）求A、B两点的坐标．5、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；（2）该蚊香可点燃多长时间？考点2、一次函数与一元一次不等式的关系例1、一次函数1ykxb与2yxa的图象如图，则下列结论①0k；②0a；③当3x时，12yy中，正确的个数是（）第4页/共21页A、0B、1C、2D、3例2、已知15yx，221yx．当12yy时，x的取值范围是（）A、5xB、12xC、6xD、6x例3、画出函数y=2x+6的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x______时，y＞0，（2）方程2x+6=0的解是______．（3）如果这个函数y的值满足-4≤y≤4，求相应的x的取值范围．例4、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．例5、如图，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2019h，照明效果一样．（1）根据图象分别求出L1，L2的函数关系式．（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?（3）小亮房间计划照明2500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)．举一反三：第5页/共21页1、如图是直线y=－2x+2的图象，则方程－2x+2=0的解是，不等式－2x+2＜0的解集为，不等式－2x+2＞2的解集为．2、如果一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点坐标为（－2，0），如图所示．则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程kx+b=0的解为x=－2；③kx+b＞0的解是x＞－2；④b＜0．其中正确的说法有．（1）（2）3、若解方程232xx得2x，则当x_________时直线2yx上的点在直线32yx上相应点的上方．4、学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？（3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？5、小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元．（1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．（2）小明的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小明．请你在同一平面直角坐标系中分别画出小明和小丽存款数和月份数的函数关系的图象．半年以后小丽的存款数是多少？能否超过小明？至少几个月后小丽的存款数超过小明？第6页/共21页6、在国道202公路改建工程中,某路段长4000米,由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成.已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产,甲工程队每天的工作量相同,乙工程队每人每天的工作量相同）.甲工程队1天、乙工程2天共修路200米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路350米.（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米?（2）甲乙两个工程队施工10天后,由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术,总部要求在规定时间内完成,请问甲队可以抽调多少人?（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元,乙工程队每天的施工费用为0.35万元,要使该工程的施工费用最低,甲乙两队各做多少天?最低费用为多少?考点3、一次函数与二元一次方程组例1、图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组（）的解．A．121xyxyB.121xyxyC．321xyxyD.321xyxy例2、把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（）A、无解B、有唯一解C、有无数个解D、以上都有可能例3、已知方程组yaxcykxb（abck，，，为常数，0ak）的解为23xy，则直线yaxc和直线ykxb的交点坐标为________．例4、已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=－1．第7页/共21页（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．例5、阅读：我们知道，在数轴上，1x表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210xy的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21yx的图象，它也是一条直线，如图①．观察图①可以得出：直线1x与直线21yx的交点P的坐标(1，3)就是方程组1210xxy的解，所以这个方程组的解为13xy；在直角坐标系中，1x表示一个平面区域，即直线1x以及它左侧的部分，如图②；21yx也表示一个平面区域，即直线21yx以及它下方的部分，如图③．回答下列问题：（1）在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组122xyx的解；（2）在上面的直角坐标系中，用阴影表示2220xyxy所围成的区域．（3）如图⑷，表示阴影区域的不等式组为：.举一反三：1、已知4,353xy是方程组3,12xyxy的解，那么一次函数y=3－x和y=2x+1的交点是________．2、方程组3222yxyx没有解，说明一次函数y=2－x与y=－x+23的图象必定（）A、相交B、平行C、重合D、不能确定第8页/共21页3、若方程组有无穷多组解，则2k+b2的值为（）A、4B、5C、8D、104、已知直线y=2x－k+3和直线y=3x+2k交于第一象限，且k是非负整数，求k的值及交点坐标．5、在直角坐标系中，直线L1的解析式为y=2x-1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（-2，a）．（1）试求a的值；（2）试问（-2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看；（4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．第三部分课堂小测1、已知直线(32)2ymx和36yx交于x轴上同一点，m的值为（）A、2B、2C、－1D、02、一次函数baxy，当32x时，0y，那么不等式0bax的解集为（）A、32xB、32xC、32xD、32x3、若方程组xyaxyb的解为114xy，则直线yxa与yxb的交点坐标为.第9页/共21页4、一次函数A（k．b为常数，且k≠0）的图象如下右图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=4的解为．5、已知一次函数与的交点坐标为（－1，3），则二元一次方程组的解是．6、如图，直线l1的函数解析式为y=2x－2，直线l1与x轴交于点D．直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B，如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）．（1）求点D、点C的坐标；（2）求直线l2的函数解析式；（3）求△ADC的面积；（4）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解．7、为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：第一档第二档第三档第四档凳高x37.040.042.045.0第10页/共21页（cm）桌高y（cm）70.074.878.082.8（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式；（不要求写出x的取值范围）；（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由．8、为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村