人教A版必修5 第二章 数列 课件2.3等差数列的前n项和

2.3等差数列的前n项和学习目标：1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；2、初步掌握公式的简单运用。教学重点、难点：重点是等差数列前n项和公式，难点是获得推导公式的思路。[克服难点的关键是通过具体例子发现一般规律]前提检测:(1)什么叫等差数列?(2)数列“1,2,3,…,n,…”是等差数列吗?为什么?(3)等差数列的通项公式是什么?如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.其形式化表示为:an=a1+(n-1)d)2,(1nddaann为常数一、等差数列前n项和的引入：１、引例：1+2+3+…+100=?2、高斯的算法：首项与末项的和：1+100=101,第2项与倒数第2项的和：2+99=101,第3项与倒数第3项的和：3+98=101,……第50项与倒数第50项的和：50+51=101.于是所求的和为：505021001013、上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及公差来表示；(2)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。解法2:设：∵S=1+2+3+4+···+97+98+99+100,S=100+99+98+97+···+4+3+2+1,∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+···(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1)=100×101s=100×(1+100)/2∴S=5050注：此法称倒序求和（属代数法）二、等差数列前n项和公式的推导：设等差数列｛an｝的前n项和为sndnnnasaansnnn2)1(2)(11an=a1+n(n-1)d设:∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,,Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1∴2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)?2Sn=n(a1+an)sn=n(a1+an)/2解决疑难问题定理：数列{an}是等差数列，m,n,p,q分别为自然数若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.证明：设等差数列首项为a1，公差为d,则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)dap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d∵m+n=p+q,∴m+n-2=p+q-2∴am+an=ap+aq2.公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式.nn三、应用举例：１、一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，将其记为｛an｝，则有a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式：2)(1nnaans72602)1201(120120s答：V形架上共放着7260支铅笔。三、应用举例：２、等差数列－10，－6，－2，2，．．．前多少项和是54？解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－10)=4设该数列前n项和为54根据等差数列前n项和公式：dnnnasn2)1(1成立有5442)1(10nnn0276,2nn得整理后解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.四、随堂练习１、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn(1)a１=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=－2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=325002)955(1010s25502)150(501005050s5.6042)325.14(26267.0)1(5.1432)1(1nnsnndnaa所以得先由2、(1)求正整数列中前n个数的和；(2)求正整数列中前n个偶数的和。3、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是－30？2)1(nnsn)1(2)22(nnnnsn［前15项］小结一、等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2Sn=n[a1+an]/2二、运用和应用（1）函数思想（2）方程思想（3）数学应用思想（4）倒序求和法三、数学发现的方法学会猜想，学会证明.五、作业及课外练习：１、作业：P46习题2.3第1、３、４题。２、课外练习：P46习题3.3第２题。