初中数学辅导讲义434初三C专题(几何证明综合复习十(线段的关系)3星)

几何证明综合复习十（线段的关系）1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。知识结构知识结构【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的因为、所以逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。11.等于同一线段的两条线段相等。二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。11.利用半圆上的圆周角是直角。五、证明线段的和、差、倍、分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。六、证明角的和、差、倍、分1.作两个角的和，证明与第三角相等。2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。3.利用角平分线的定义。4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。七、证明两线段不等1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。八、证明两角不等1.同一三角形中，大边对大角。2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。九、证明比例式或等积式1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比利式或等积式化得。以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是梦想！【备注】本部分为3个例题+1个练习，每题讲解时间大概为6分钟左右，讲解过程中注意边讲边练例1.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AM=DM。（★★★）求证：（1）AE=AB；（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE。【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.特殊条件：平行四边形ABCD，AM=DM。二.求证AE=AB：证明△AEM≌△DCM可得。三.求证BM⊥CE：1.附加条件：BM平分∠ABC；2.先证明∠E=∠AME，在利用角度关系证明∠BME＝90°可得。【满分解答】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD∴∠E=∠ECD．又∵AM=DM，∠AME=∠DMC，∴△AEM≌△DCM．∴CD=AE．∴AE=AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠AMB=∠MBC．∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠MBC．∴∠ABM=∠AMB．∴AB=AM．∵AB=AE，∴AM=AE．∴∠E=∠AME．∵∠E＋∠EBM＋∠BMA＋∠AME＝180°，∴∠BME＝90°，即BM⊥CE．例2.如图，点F是CD的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC。（★★★）（1）求证：AB=AE；（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？（只需写出结论，不必证明）．【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.特殊关系：点F是CD的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC。二.求证AB=AE：证明△ABC≌△AED可得。三.结论：BE⊥AF，BE//CD，AF平分BE。【满分解答】（1）证明：联结AC、AD∵点F是CD的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD∴∠ACD=∠ADC∵∠BCD＝∠EDC,∴∠ACB＝∠ADE∵BC=DE，AC=ADABCDEF∴△ABC≌△AED,∴AB=AE（2）BE⊥AF，BE//CD，AF平分BE我来试一试！1.如图，已知CE是RtABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D。求证：DEPECE2。（★★★）【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.特殊条件：CE是RtABC斜边AB上的高，BG⊥AP。二.证明DEPECE2：1.先证明Rt△ACE∽Rt△CBE得到BEAECE2；2.再证明△AEP∽△BED，得到DEAEBEPE，即BEAEDEPE可得。【满分解答】∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴Rt△ACE∽Rt△CBE．∴CEAEBECE．∴BEAECE2．又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°，∵∠1=∠2，∴∠P=∠3．∴△AEP∽△BED．∴DEAEBEPE．∴BEAEDEPE．∴DEPECE2．E例3.在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长)，如图(1)、图(2)表示三角板旋转过程中的两种情形．(1)直角三角板绕点P旋转过程中，当BE=时，△PEC是等腰三角形；(2)直角三角板绕点P旋转到图(1)的情形时，求证:PD=PE；(3)如图(3)，若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处，设AM:MC=m:n(m、n为正数)，试判断MD、ME的数量关系，并说明理由。（★★★★）【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.特殊条件：Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90。二.分三个情况讨论可得，BE=0、2、224满足要求。三.在图（2）中，求证PD=PE：证明△DPB≌△EPC可得。四.在图（3）中，试判断MD、ME的数量关系：1.附加条件：AM:MC=m:n。2.过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H：证明△MGD∽△MHE可得GMMDHMME；3.在利用GM//BC得GMAMmBCACnm，即mGMBCnm；4.同理可得mHMABnm，则mHMBCnm5.综上可得MDmMEn。【满分解答】图（1）图（2）图（3）MABCDEEDPPEDABCCBA（1）BE=0、2、224；（2）证：联结BP．∵AB=BC且∠ABC=90°∴∠C=90°又∵P是AC中点∴BP⊥AC，BP=PC且∠ABP=∠CBP=45°∴∠CPE+∠EPB=90°∵DP⊥PE∴∠BPD+∠EPB=90°∴∠BPD=∠CPE在△DPB和△EPC中CABPCPBPCPEBPD∴△DPB≌△EPC∴PD=PE（3）解：过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H．由作图知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°又∵∠B=90°∴∠GMH=90°∴∠GMD+∠DMH=90°∵∠DMH+∠HME=90°∴∠GMD=∠HME∴△MGD∽△MHE∴GMMDHMME①∵AMmMCn∴AMmACnm∵∠MGA=∠B=90°∴GM//BC∴GMAMmBCACnm即mGMBCnm②同理mHMABnm∵AB=BC∴mHMBCnm③②③代入①得MDmMEnPEDCBAHGMABCDE【备注】本部分为解题方法总结，可以让学生独立总结解题过程和心得，时间大概3分钟。解题方法总结：【备注】该部分在测试，时间7分钟，学生独立完成后再讲评1.如图，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作PF⊥AP，与∠DCE的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG．（★★★★）（1）求证：AP=FP；（2）证明：PGBPDG；（3）当BP取何值时，PG//CF。【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.边的关系：AB=2，PF⊥AP。2.正方形ABCD，CF平分∠DCE。二.求证AP=FP：用全等证明，在边AB上截取线段AH，使AH=PC，联结PH，证明△AHP≌△PCF可得。三.证明PGBPDG：延长CB至点M，使BM=DG，联结AM，证明△APM≌△APG。四.当BP取何值时，PG//CF：可得得∠GPC=∠FCE=45°，再结合前一问可得。【满分解答】（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH=PC，联结PH．由正方形ABCD，得∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=AD．∵∠APF=90°，∴∠APF=∠B．∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC，∴∠PAH=∠FPC．…又∵∠BCD=∠DCE=90°，CF平分∠DCE，∴∠FCE=45°．∴∠PCF=135°．又∵AB=BC，AH=PC，∴BH=BP，即得∠BPH=∠BHP=45°．∴∠AHP=135°，即得∠AHP=∠PCF．在△AHP和△PCF中，∠PAH=∠FPC，AH=PC，∠AHP=∠PCF，∴△AHP≌△PCF．∴AP=PF．（2）解：延长CB至点M，使BM=DG，联结AM．由AB=AD，∠ABM=∠D=90°，BM=DG，得△ADG≌△ABM，即得AG=AM，∠MAB=∠GAD．∵AP=FP，∠APF=90°，∴∠PAF=45°．∵∠