高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积》基础练习题

试卷第1页，总8页高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积》基础练习题1.已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A.√2𝜋B.√1𝜋C.√2𝜋D.√𝜋2.长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球𝑂的球面上，则球𝑂的表面积为()A.12𝜋B.13𝜋C.14𝜋D.15𝜋3.已知三边长分别为4、5、6的△𝐴𝐵𝐶的外接圆恰好是球𝑂的一个大圆，𝑃为球面上一点，若点𝑃到△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的距离相等，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的体积为：（）A.8B.10C.20D.304.中心角为135∘的扇形，其面积为𝑆1，其围成的圆锥的表面积为𝑆2，则𝑆1𝑆2=()A.118B.138C.811D.8135.已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为√3，则该正四棱锥的全面积为（）A.8B.12C.16D.206.在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，若𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，𝐴𝐴1=12，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐴1⊥底面𝐴𝐵𝐶，𝐸为𝐴𝐴1的中点，从𝐸拉一条绳子绕过侧棱𝐶𝐶1到达𝐵点的最短绳长为()A.2√2B.2√3C.8D.107.圆锥的底面积为4𝜋，其轴截面是正三角形，则其侧面积是（）A.2𝜋B.4𝜋C.8𝜋D.16𝜋8.已知三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐷=𝐶𝐷=2，𝐵𝐶=2𝐴𝐷，直线𝐴𝐷与底面𝐵𝐶𝐷所成角为𝜋3，则此时三棱锥外接球的体积为（）A.8𝜋B.√2𝜋3C.4√2𝜋3D.8√23𝜋9.某几何体的三视图如图，它的侧视图与正视图相同，则它的体积为（）10.设地球半径为𝑅，在北纬45∘圈上有甲、乙两地，它们的经度差为90∘，则甲、乙两地间的最短纬线之长为________，甲、乙两地的球面距离为________．11.一个几何体的三视图如图所示（单位：𝑚），则该几何体的体积为________𝑚3．12.设地球的半径为𝑅，赤道上东经40∘的点𝐴与北纬45∘、东经130∘的点𝐵的球面距离是________．13.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的侧面积为________．A.2+4√2𝜋3B.4+8√2𝜋3C.2+8√2𝜋3D.4+4√2𝜋3试卷第2页，总8页14.圆锥的底面半径为3，高是4，在这个圆锥内部有一个内切球，则此内切球的半径为________.15.一圆锥的内切球的表面积与圆锥的侧面积之比为2:3，则该圆锥母线与底面的夹角为________．16.若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为________，外接球的表面积为________．17.在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝑃，𝐴𝐵，𝐴𝐶两两垂直，且𝐴𝑃=𝐴𝐵=𝐴𝐶=√3，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的内切球的表面积为________.18.如图是某几何体的三视图，则它的体积为________．19.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________．试卷第3页，总8页参考答案一、选择题1.A解：设圆锥的底面半径为𝑟，母线长为𝑙，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2𝜋𝑟=𝜋𝑙，∴𝑙=2𝑟，∵圆锥的表面积为𝜋𝑟2+𝜋𝑟𝑙=𝜋𝑟2+2𝜋𝑟2=6，∴𝑟2=2𝜋，即𝑟=√2𝜋.故选𝐴.2.C解：设该球的半径为𝑅，则该球的半径等于长方体体对角线的一半，即𝑅=√32+22+122=√142，所以该球的表面积=4𝜋𝑅2=14𝜋.故选𝐶.3.B解：𝑃在面𝐴𝐵𝐶上的射影为𝑂，则𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝑃=𝑅，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏sin𝐶=𝑎𝑏𝑐4𝑅∴𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶=13𝑆𝐴𝐵𝐶𝑅=𝑎𝑏𝑐12=10，故选𝐵4.C解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×3𝜋4=3𝜋4，设围成圆锥的底面半径为𝑟，则2𝜋𝑟=3𝜋4，𝑟=38，扇形的面积𝑆1=12×1×3𝜋4=3𝜋8，圆锥的表面积𝑆2=𝑆1+𝜋𝑟2=3𝜋8+9𝜋64=33𝜋64，∴𝑆1𝑆2=811．故选𝐶．5.B如图，试卷第4页，总8页四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷为正四棱锥，高𝑂𝑃=√3，底面边长𝐴𝐵＝2．过𝑂作𝑂𝐺⊥𝐵𝐶，垂足为𝐺，连接𝑃𝐺，则斜高𝑃𝐺=√1+3=2．∴正四棱锥的全面积是𝑆=2×2+4×12×2×2=12．6.D解：如图，把三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1展成平面图得到矩形𝐴𝐵𝐵1𝐴1，𝐸为𝐴𝐴1的中点，连接𝐸𝐵，则从𝐸拉一条绳子绕过侧棱𝐶𝐶1到达𝐵点的最短绳长为𝐸𝐵，因为三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的底边𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=5，所以展开图中𝐴𝐵=8，则侧棱长为12，𝐸为𝐴𝐴1的中点，可得𝐴𝐸=6，所以从𝐸拉一条绳子绕过侧棱𝐶𝐶1到达𝐵点的最短绳长为𝐸𝐵=√𝐴𝐸2+𝐴𝐵2=10，故选𝐷.7.C解：如图：根据题意，设圆锥的底面半径为𝑟，母线长为𝑙，高等于ℎ．∵底面积为4𝜋，∴𝜋𝑟2=4𝜋，解得𝑟=2．又∵圆锥的轴截面是正三角形，∴𝑙=2𝑟=4，ℎ=√3𝑟=2√3，可得圆锥的侧面积是𝑆=𝜋𝑟𝑙=𝜋×2×4=8𝜋．故选𝐶.8.D试卷第5页，总8页解：如图所示，取𝐵𝐶的中点𝑂，连接𝑂𝐴，𝑂𝐷．∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐷=𝐶𝐷=2，∴𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，𝑂𝐴⊥𝐵𝐶，𝑂𝐴∩𝑂𝐷=𝑂，∴𝐵𝐶⊥平面𝑂𝐴𝐷，𝐵𝐶⊂平面𝐵𝐶𝐷，∴平面𝑂𝐴𝐷⊥平面𝐵𝐶𝐷，平面𝑂𝐴𝐷∩平面𝐵𝐶𝐷=𝑂𝐷，∴𝐴𝐷在平面𝐵𝐶𝐷是射影是𝑂𝐷，∴∠𝐴𝐷𝑂=𝜋3．又𝑂𝐴=𝑂𝐷，∴△𝑂𝐴𝐷是等边三角形，设𝐴𝐷=𝑥，则𝑂𝐷=𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑥，∴2𝑥2=4，∴𝑥=√2，∴点𝑂是三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的外接球的球心，因此外接球的半径𝑅=√2．∴外接球的体积𝑉=43𝜋𝑅3=8√2𝜋3．故选𝐷．9.D由三视图知：几何体是长方体与半球体的组合体，长方体的底面是的对称线长为2√2正方形，高为1，球的半径为√2，故体积为12×2√2×2√2×1+12×43𝜋×(√2)3＝4+4√23𝜋，二、填空题10.√24𝜋𝑅,𝜋3𝑅解：设甲、乙两地分别对应球面上𝐴、𝐵两点，由题意得：北纬45∘圈小圆𝑄的半径为𝑟=𝑅cos45∘=√22𝑅，∴甲、乙两地间的最短纬线之长为𝜋2×√22𝑅=√24𝜋𝑅．∵甲、乙两地的经度差为140∘−50∘=90∘，∴𝑅𝑡△𝐴𝑄𝐵中，𝐴𝐵=𝑅，∴△𝐴𝑂𝐵是边长为𝑅的等边三角形，可得甲、乙两地的球心角∠𝐴𝑂𝐵=60∘，∴甲、乙两地的球面距离是𝑙=𝜋3𝑅，试卷第6页，总8页故答案为：√24𝜋𝑅，𝜋3𝑅．11.8𝜋3解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为𝑉几何体=2×13𝜋⋅12×1+𝜋⋅12⋅2=83𝜋．故答案为：83𝜋．12.𝜋2𝑅解：如图，𝐶是赤道面内，𝐵在上的射影，由题意∠𝐵𝑂𝐶=90∘，∠𝐴𝑂𝐶=45∘，所以有三面角公式可得：cos∠𝐴𝑂𝐵=cos90∘cos45∘=0，所以∠𝐴𝑂𝐵=𝜋2；𝐴、𝐵两点的球面距离是：𝑅(𝜋2)．故答案为：𝜋2𝑅．13.2+2√6解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥，如图所示，𝑆△𝑃𝐴𝐶=12×2×2=2，𝑆△𝑃𝐴𝐵=12×2×√22+12=√5△𝑃𝐵𝐶中，𝑃𝐶=2√2,𝑃𝐵=3,𝐵𝐶=√5，∴cos∠𝐵𝑃𝐶=(2√2)2+32−(√5)22×2√2×3=√22，∴∠𝐵𝑃𝐶=𝜋4，∴𝑆△𝑃𝐵𝐶=12×3×2√2×sin𝜋4=3，∴该三棱锥的侧面积是𝑆侧=2+√5+3=5+√5故答案为：5+√5.试卷第7页，总8页14.32解：如图所示，作出轴截面，∵𝐶𝐷=3，𝐴𝐷=4，∴𝐴𝐶=5，∵∴𝑂𝐸𝐴𝑂=𝐶𝐷𝐴𝐶．𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐸∼𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷，设𝑂𝐸=𝑅，则𝐴𝑂=4−𝑅，∴𝑅4−𝑅=35，∴𝑅=32．故答案为：32．15.60∘解：设内切球的半径为𝑟，圆锥的底面半径为𝑅，母线长为𝑙，由𝑆△=12𝑙𝑟+12𝑙𝑟+12×2𝑅×𝑙=12×2𝑅×√𝑙2−𝑅2得𝑟=𝑅√𝑙2−𝑅2𝑙+𝑅，由4𝜋𝑟2𝜋𝑅𝑙=23得𝑙𝑅=2，所以夹角为60∘．故答案为：60∘．16.13,3𝜋解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色），∴多面体的体积为1−4×13×12×1×1×1=13．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线√3．因此其球的表面积是4𝜋⋅(√32)2=3𝜋．故答案为：13；3𝜋．17.(4−2√3)𝜋解：三棱锥体积为𝑆𝑃−𝐴𝐵𝐶=13×12×(√3)3=√32，其图像如图所示，设内接球的半径为𝑟，且𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐴𝐶𝑃=𝑆△𝐴𝐵𝐶，∴3⋅13𝑟⋅𝑆△𝑃𝐴𝐵+13𝑟⋅𝑆△𝐵𝐶𝑃=√32，试卷第8页，总8页解得𝑟=√3−12，∴三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的内切球表面积为4𝜋(√3−12)2=(4−2√3)𝜋，故答案为：(4−2√3)𝜋.18.203或163解：由题意三视图对应的几何体如图1所示，所以几何体23−13×12×的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即：2×2×2=203．或者，三视图对应的几何体如图2所示，则它的体积为203−43=163．故答案为：203或163．19.50𝜋