材料力学动载荷

第10章动载荷前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、稳定性的计算都是在静载荷作用下进行的，即认为载荷从零开始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，载荷加到最终值后也不再变化。在工程实际问题中：一些高速运动的构件或零部件，以及加速提升的构件，其质点具有明显加速度。再如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向冲击的构件，更是在瞬间速度发生急剧改变。显然这些情况不能作为静载荷来考虑，称之为动载荷，在动载荷作用下的构件的计算称为构件的动力计算。概述构件的动力计算，包括构件的载荷和内力分析；应力与强度、变形与刚度的分析与计算。对动力学的学习与研究(基本定理与动静法)提供了构件动力计算分析的前提。前面各章在静载荷下对杆件基本变形及组合变形的内力、应力、变形分析，为构件的动载荷下的应力与变形计算奠定了基础。本章将把两方面结合起来应用于杆件的动力计算。对动载荷作用下的构件，只要应力不超过比例极限σP，胡克定律仍然适用．弹性模量也与静载下相同：其强度、刚度和稳定性的条件均与静载荷作用下相同，只不过将其公式中的静载荷与静应力、静变形以动载荷与动应力、动变形代之。静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到某一定值不再随时间改变。动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时间变化的载荷。本章讨论的问题：作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；实验证明：静载荷下服从胡克定律的材料，在动载荷下只要动应力不超过比例极限，仍然服从胡克定律，而且具有相同的弹性模量。动应力：构件内由于动载荷引起的应力。一、作匀加速直线运动构件§10.1匀加速运动构件的应力计算—惯性力法设有等直杆：长L，截面积A,比重，受拉力F作用,以等加速度a运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。maFdqALFggALFmFa/LFagAqd1xdx1.动静法(达朗贝尔原理)对作等加速度运动或等速转动构件进行受力分析时，可以认为构件的每一质点上作用着与加速度a方向相反的虚加惯性力,其大小等于质量与加速度的乘积。从而使质点系上的真实力系与虚加的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达朗贝尔原理即动静法。当构件作匀速直线运动时，加速度等于零，惯性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止状态是相同的。对这类运动下的构件，可视为静载荷的作用。例1一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。QammxQx)(xFNdagQagAxAx解：惯性力为：agAxagQ，吊索截面上的内力：)(xFNd根据动静法，列平衡方程：0xF0)(agQQagAxAxxFNd解得：)1)(()(gaQAxxFNd重物与吊索的重力：AxQ,吊索中的动应力为：)1()(dgaAQAxAFxNd当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：AQAxst代入上式，并引入记号，称为动荷系数，则：gaKd1dstdKQx)(xFNdagQagAxAx于是，动载荷作用下构件的强度条件为：][)(dmaxstmaxdK式中得[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。•动荷系数的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以下重要关系：dKstdstdstdstddPFK分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。式中分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移；dddd,,,Fstststst,,,P二、匀角速度旋转构件1.旋转圆环的应力计算一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁厚为t。odq2d2gDAagAqn解：Dtona圆环横截面上的内力：odqNdFNdFxydd2dDqDqDqFNddπ0dsind22224gDAFNd圆环横截面上的应力：gvgDAFNd222d42Dv式中是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：][2dgv•旋转圆环的变形计算在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为，则其直径变化，径向应变为DDDDEDDDDDttrπ)(π所以EgDvEDDd2)1(2gEvDDDD由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。1、计算构件的加速度；2、将相应的惯性力作为外力虚加于各质点aFgm•动静法解题的步骤：3、作为平衡问题进行处理。例如图a所示，一根长l=12m的14号工字型钢由两根钢缆吊起，并以匀加速度a=10m•s-2上升。已知钢缆的横截面面积A=72mm2，工字钢的许用应力=160MPa，试计算钢缆的动应力，并校核工字钢梁的强度。解：1.计算钢缆内的动应力由型钢表查得，工字钢每米长度的重量qst=165.62N•m-1，抗弯截面系数Wz=16.1×10-6m3。根据题意，动荷因数为02.28.91011dgaK工字钢梁在自重作用下的受力图如图b所示由钢梁的平衡方程ΣFy=0，N7.993m12mN62.1652121ststNlqF故钢缆内的动应力为MPa9.27m1072N7.99302.226stddK2.计算梁内最大静应力最大弯矩和弯曲正应力发生在跨中截面上mN7.99362.165666214st2ststNmaxstqqFMMPa7.61m101.16mN7.99336maxstmaxstzWMstq2stq63.钢梁的强度校核梁内最大动应力为160MPa][MPa6.1247.6102.2maxstdmaxdK结论：钢梁的强度满足要求。MPa7.61maxst例如图所示，等直杆OB在水平面内绕通过O点并垂直于水平面的z-z轴转动。已知角速度为ω，杆横截面积为A，材料的容重为γ，弹性模量为E。试求杆内最大动应力和杆的总伸长。解：⒈求杆内最大动应力向心加速度为xan2到轴线距离为x处杆单位长度上的动载荷为xgAxq2d)(因此，距轴线距离为x的截面上的轴力为)(2)(2222xlgAxxgAxxqFlxlxNdddd)(2222xlgAFNd相应的动应力为)(2)(222xlgAFxNdd从而可知杆内最大动应力为gl222maxd⒉求杆的总伸长在x处取一微段dx，其伸长d(Δld)可根据胡克定理求得，即xExxxld)(d)()(dddd于是，杆的总伸长量为EglxxlEgllll3d)(2)(d3222002dd直杆单位长度上的动载荷及杆内动应力与到轴线的距离之间的关系如图。例在如图示的轴上，B端装有一个质量很大的飞轮，其转动惯量为Jx=0.5kN•m•s2，转速为n=100r/min。轴的直径d=100mm，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的A端装有刹车离合器。刹车时使轴在10s内均匀减速停止转动。求轴内最大动应力。1.计算轴AB的载荷解：轴与飞轮的转动角速度为：(rad/s)310π30π10030π0n刹车时，轴与飞轮的角加速度为：(rad/s)310310001t按动静法得：m)(kN3π5.03π5.0dxJM由平衡方程0xM得m)(kN3π5.0dfMM2.计算轴AB横截面上的最大切应力任一横截面上的扭矩为：m)(kN3π5.0dMT轴横截面上的最大扭转切应力为：MPa69.2Pa1069.2m1010016πmN103π5.06333PmaxWT请思考，若制动时间减为1s或0.1s，τdmax将如何变化?任一横截面上的扭矩为：m)(kN3π5.0dMTd轴横截面上的最大扭转切应力为：MPa69.2Pa1069.2m1010016πmN103π5.06333tmaxWTddvFa受冲击的构件冲击物•冲击问题的特点：结构（受冲击构件）受外力（冲击物）作用的时间很短，冲击物的速度在很短的时间内发生很大的变化，甚至降为零，冲击物得到一个很大的反向加速度，结构受到冲击力的作用。采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。§10.2构件受冲击时的应力根据能量守恒定律，即VVT:冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；T:冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；V:被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的应变能。eV计算冲击问题时所作的假设：(1)冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。(2)不考虑被冲击物的质量，冲击力瞬间传遍构件，且材料服从胡克定律(3)冲击过程中，忽略声、光、热能的转化，即只有势能与动能的转化。假设：1.冲击物为刚体，被冲击物为弹性体。2.不计冲击过程中的能量损失。3.被冲击物质量远小于冲击物质量，可略去不计。4、冲击载荷和冲击变形仍然满足线弹性关系，即冲击物动能T和势能V被冲击物应变能Vε能量守恒T+V=Vε结果偏于安全stdstddPF根据假设，工程实际上的梁、轴、拉(压)杆均可简化为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物F,在高度h处落下的作用，计算冲击应力。PhABPhPh弹簧Ph弹簧d设：受重物F自高度h落下，冲击弹性系统后，速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最大值。d此时，全部（动）势能转化为应变能，杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就以此时来计算：•释放出的动能（以势能的降低来表示）)(dhPT•增加的应变能，在弹性极限内ddPVe21PPFstddFP被冲击构件增加的应变能Vε，是等于冲击载荷在冲击过程中所作的功。dFdF：冲击物速度为0时，作用于杆之力。stPFdd于是应变能为2ddd2121stPFV根据能量守恒：根据力和变形之间的关系：ddkF且VTk可以得到：2dd21)(stPhP即022d2dststh解得：stststh22d式中“+”对应的是最大变形，“-”代表的是回跳到的最高位置。所以取正值。即stststh22d)211(22stststststhhdstdK式中为冲击时的动荷系数，dKsthK211d其中是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量）作用下的垂直位移。stddddKPFstst因为所以冲击应力为stKdd强度条件为][max.maxstKdd因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静载荷、静应力、静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系数，即stKdd通常情况下，。1dKstKddPKFddstKdd1.若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由可得：ghv22stgvK211d•关于动荷系数的讨论:dK2.当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时。2dK3.不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关，更与静位移有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变形，刚度越小，即“柔能克刚”。dKststhK211d几个冲击实例的计算实例1等截面直杆的冲击拉伸应力LhF已知：等截面直杆长度为L，截面积为A，杆件材料的杨氏模量为E，重物Q从高H处自由落下。解：静应力和静伸长分别为AFEAFL，动荷系数为PLEAhhK211211d冲击应力为ALhFEAFAFK2)(2dd实例2等截面简支梁的冲击弯曲应力已知：梁的抗弯刚度为EI，抗