特征二次函数压轴题

庙头中学专版第1页（共4页）特征〖二次函数〗压轴题1．设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=﹣2c，b=﹣2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=x2﹣2nx+1，若函数y1恰是y1+y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．2．如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．庙头中学专版第2页（共4页）3．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分了C1经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组成一条封闭曲线，已知点C的坐标为（0，﹣1.5），M是抛物线C2；y=tx2﹣2tx﹣3t（t＜0）的顶点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）在第四象限的封闭曲线上确定一点P，使△PBC面积最大，求出此时△PBC的最大值；（3）是否存在t值使得SS△BCD=2S△ACM？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．庙头中学专版第3页（共4页）5．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），（，），…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（m，5）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）一次函数y=2kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）的图象上有且只有一个“梦之点”A（c，c），令t=b2+4a，当﹣2＜b＜2时，求t的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：形如y=a（x﹣m）2+a（x﹣m）与y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．判断二次函数y=x2﹣x与y=x2﹣3x+2的图象是否为兄弟抛物线？如果是，求出a与m的值；如果不是，请说明理由．庙头中学专版第4页（共4页）7．在直角坐标系中，如果二次函数y=ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），且AB=OC，那么我们称这个二次函数为和合二次函数．（1）判断二次函数y=x2+x+2和y=x2+x+2是否为和合二次函数，并说明理由；（2）和合二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点（﹣6，2）．①求a与b的值；②此函数图象可由抛物线y=ax2经过怎样的平移得到？8．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）若特征点的坐标为（1，3），则点A的坐标为．（2）当a=1时，若△ABC是直角三角形，求b的值．（3）若a、b＞0，当点C在直线y=ax+ab上，且△ABC的面积为2时，求a、b的值．