1.4.1正弦函数余弦函数的图像

1.4.1正弦函数、余弦函数的图像物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”沙漏单摆实验思考1：作函数图象最原始的方法是什么？思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，可取哪些点？257435110,,,,,,,,,,,,26323663236x让取等值来列表xsinx26113523346765322360列表、描点、连线Poxy11MAT正弦线MP余弦线OM正切线AT,,的几何意义是什么?asinacosatan既然作与单位圆有关的三角函数线可得相应的角的三角函数值,那么通过描点,连线即可得到函数)sin,(xx2,0,sinxxy的图象sin=MPcos=OMtan=AT问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。O1Oyx33234352-11描图：用光滑曲线将这些正弦线的终点连结起来ABy=sinx(x[0,])25yxo1-122322我们在作正弦函数y=sinxx∈[0,2π]的图象时，描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？分别说出它们的坐标。(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)五个关键点—(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)xsinx22302010-10五点法6π4-3/2o-π2-π3-/2π2π3π4xy1-1函数y=sinx,xR的图象正弦曲线y=sinxx[0,2]y=sinxxR即：sin(x+2k)=sinx,kZ终边相同角的三角函数值相等)()2(xfkxf利用图象平移x6yo--12345-2-3-41正弦、余弦函数的图象余弦函数的图象正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同8像作二次函数图象那样为了快速用描点法作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察函数图象寻找图象上起关键作用的点：2,0,sinxxy2,0,cosxxy9图象的最高点图象的最低点3(1)2，图象与x轴的交点)0,0((,0))0,2((1)2，图象与x轴的交点图象的最高点)1,0()1,2(图象的最低点)1,(3(0)2，(0)2，xyo-1122.....[0,2π]xsinx,y[0,2π]xsinx,y1101210-10100xπ23πsinxsinx12π23π例1：（1）画出y=1+sinx,x∈[0，]的简图22π22π23ππ2π0x101-01cosx1-0101-cosx-2π23ππ2πO-11[0,2π]x,cosxy[0,2π]x,cosxyxy（2）画出y=-cosx,x∈[0，2]的简图xsinx2230210-101练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数y=sinx，x[0,2]和y=cosx，x[,]的简图：223o1yx22322-12y=sinx，x[0,2]y=cosx，x[,]223xcosx100-102230212向左平移个单位长度21-12xyo2322232思考：如何画出函数的简图Rxxy,sinx0sinx0-101001010xysin2232解：按关键点列表描点并将它们用光滑曲线连接起来Rxxy,siny=sinx，x[0,2]13例3在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数．解建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象．描出点110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．例2：3．函数y＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝12的交点共有________个．解析：函数y＝sinx＋2|sinx|＝3sinx，0≤xπ，－sinx，π≤x≤2π，在同一坐标系中画出两函数的图像，如图所示，易知两图像的交点共有4个．答案：4变式训练2：[随堂即时演练]1．用“五点法”作y＝2sin2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3解析：选由2x＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.B2．函数y＝－cosx的图像与余弦函数图像()A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于原点和x轴对称D．关于原点和坐标轴对称解析：选由y＝－cosx的图像知关于原点和x轴对称．C3．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像与y＝32的交点的个数是________．解析：由y＝sinx的图像向上平移1个单位，得y＝1＋sinx的图像，故在[0,2π]上与y＝32交点的个数是2个．答案：24．函数y＝2cosx－2的定义域是________．解析：要使函数有意义，只需2cosx－2≥0，即cosx≥22.由余弦函数图像知(如图)，所求定义域为－π4＋2kπ，π4＋2kπ，k∈Z.答案：－π4＋2kπ，π4＋2kπ，k∈Z解：列表：x0π2π3π22πsinx010－101＋2sinx131－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，π2，3，(π，1)，3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图像．5．用“五点法”作出函数y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图像．跟踪训练3方程x2－cosx＝0的实数解的个数是____．解析作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．226：正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象小结1.正弦曲线、余弦曲线几何画法五点法2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系yxo1-122322y=sinx，x[0,2]y=cosx，x[0,2]22