高中数学复习：求函数的最值、恒成立问题及求特定字母的取值范围问题

第26讲求函数的最值、恒成立问题及求特定字母的取值范围问题考向一:求解函数最值的方法与技巧【例1】设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M、N,则|MN|的最小值为()(A)(1+ln3)(B)ln3(C)1+ln3(D)ln3-1解析:由题意知|MN|=|x3-lnx|,设h(x)=x3-lnx,h'(x)=3x2-,令h'(x)=0,得x=,易知当x=时,h(x)取得最小值,h(x)min=-ln=(1-ln)0,故|MN|min=(1-ln)=(1+ln3).故选A.类似的问题大家可能见过,但这个题的特殊性在于内嵌了导数求极值,所以要求提高了,解题突破口是构造函数,可训练学生构造函数的技巧与方法,及利用导数解决问题的能力.考向二:突破恒成立问题【例2】(2011年高考浙江卷)设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.注:e为自然对数的底数.名师导引:(1)如何求函数f(x)=a2lnx-x2+ax的导数?【按照多项式法则进行,三项分别进行,f'(x)=-2x+a】(2)使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,具体求解要转化为什么问题?【实质就是求x∈[1,e]时,函数f(x)的最大值与最小值】解:(1)因为f(x)=a2lnx-x2+ax.其中x0,所以f'(x)=-2x+a=-.由于a0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞).(2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即a≥e,由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只要解得a=e.已知不等式在区间I上恒成立,求参数取值范围时,注意“当af(x)恒成立时,只需af(x)max,当af(x)恒成立时,只需af(x)min”的应用.举一反三21:(2011年温州十校联考)已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值;(2)若a,且当x∈[1,4a]时,|f'(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=x3-3x2-9x+1,∴f'(x)=3x2-6x-9.令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=3.列表如下:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值6↘极小值-26↗∴f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26.(2)法一:f'(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上,关于直线x=a对称的抛物线.①若a≤1,则f'(x)在[1,4a]上是增函数,∴f'(x)min=f'(1)=3-6a-9a2,f'(x)max=f'(4a)=15a2,要使|f'(x)|≤12a恒成立,则②若a1,则|f'(a)|=12a2,显然12a212a,故当x∈[1,4a]时,|f'(x)|≤12a不恒成立.综合①,②得,所求a的取值范围是(,].法二:由f'(x)=3x2-6ax-9a2,当a,x∈[1,4a]时,|f'(x)|≤12a恒成立,∴|3x2-6ax-9a2|≤12a在x∈[1,4a]上恒成立,由②:3x2-6ax-9a2+12a≥0在[1,4a]上恒成立,令g(x)=3x2-6ax-9a2+12a,考向三:求特定字母的取值范围问题【例3】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+a2(a0)的单调递减区间是(1,2),且满足f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若对任意m∈(0,2],关于x的不等式f(x)m3-mlnm-mt+3在x∈[2,+∞)时有解,求实数t的取值范围.解:(1)由已知得,f'(x)=3ax2+2bx+c,∵函数f(x)=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是(1,2),∴f'(x)=3ax2+2bx+c=0的两个根分别是1和2,且a0,由f(0)=a2=1且a0可得a=1,(2)由(1)得,f'(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),∴x2时,f'(x)0,∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,∴在x∈[2,+∞)时,f(x)min=f(2)=3,在m∈(0,2]时,h'(m)和h(m)的变化情况如下表:m(0,1)1(1,2]h'(m)-0+h(m)↘极小值↗∴h(m)min=h(1)=,∴t,即t的取值范围为(-∞,).本题的核心是“把对任意m∈(0,2],关于x的不等式f(x)m3-mlnm-mt+3在x∈[2,+∞)时有解”转化为“m3-mlnm-mt+3f(x)min对任意m∈(0,2]恒成立”,转化的基本思想是:如果不等式f(x)M(常数)有解,则在坐标系中函数y=f(x)的图象必然有位于直线y=M下方的部分,但不要求该函数图象都在直线y=M的下方,故只要Mf(x)min即可,这与f(x)M恒成立是不相同的,f(x)M恒成立⇔Mf(x)max.举一反三31:(2011年杭州模拟)已知函数f(x)=x3-ax2-3x,(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值;(2)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.解:(1)f'(x)=3x2-2ax-3,f'(3)=0,即27-6a-3=0,∴a=4.f'(x)=0的两根为-,3,∴f(x)=x3-4x2-3x有极大值点x=-,极小值点x=3,此时f(x)在x∈[-,3]上是减函数,在x∈[3,+∞)上是增函数.f(1)=-6,f(3)=-18,f(a)=f(4)=-12,∴f(x)在x∈[1,a]上的最小值是-18,最大值是-6.