65高数上册内容总结

1定义：2运算法则：（1）四则运算（2）复合函数3性质：（1）有界性（2）唯一性（3）保号性（4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。（5）)()()(limxAxfAxfα+=⇔=，其中0)(lim=xα。4无穷小量的阶：第一章主要内容机动目录上页下页返回结束一、极限5求极限的方法：(1)定义，运算法则及性质;(2)夹逼定理；(3)单调有界原理（求数列极限）；(4)单侧极限与极限的关系；(5)两个重要极限：1sinlim0=→xxxexxx=+∞→)11(limexxx=+→10)1(lim机动目录上页下页返回结束ennn=+∞→)11(lim常用的等价无穷小量：当0→x时,xx~sin，xx~tan，xx~)1ln(+xx~arcsin，xx~arctan，xex~1−,221~cos1xx−,xxaxln~1−xxαα~1)1(−+,机动目录上页下页返回结束(6)利用等价无穷小代换；(7)罗必达法则（注意应用条件）;（8）利用泰勒公式。1定义：)()(lim00xfxfxx=→；0lim0=Δ→Δyx。2性质：（1）初等函数在其定义域内是连续的。（2）连续等价与左右连续且相等。3间断点的类型：（1）第一类间断点；（2）第二类间断点。二、连续性机动目录上页下页返回结束4闭区间上连续函数的性质：（1）零点存在定理；（2）介值定理；（3）最大值，最小值定理；1、导数的定义.)()(limlim00000xxfxxfxyyxxxxΔ−Δ+=ΔΔ=′→Δ→Δ=机动目录上页下页返回结束;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxxΔ−Δ+=−−=′−−→Δ→−;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxxΔ−Δ+=−−=′++→Δ→+函数)(xf在点0x处可导⇔左导数)(0xf−′和右导数)(0xf+′都存在且相等.第二章主要内容2、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx+=′−=′=′=′=′=′=′=′（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx+−=′−−=′=′=′−=′−=′−=′μ=′−μμarc机动目录上页下页返回结束3、求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu′±′=′±)(,（2）uccu′=′)((c是常数),（3）vuvuuv′+′=′)(,（4）)0()(2≠′−′=′vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(,)()(yxfxfyyxϕϕ′=′==则有的反函数为如果函数机动目录上页下页返回结束(3)复合函数的求导法则).()()()]([)(,)(xufxydxdududydxdyxfyxuufyϕϕϕ′⋅′=′⋅====或导数为的则复合函数而设(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu机动目录上页下页返回结束(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程xytytx⎩⎨⎧==ψϕ;)()(ttdtdxdtdydxdyϕψ′′==.)()()()()(322tttttdxydϕϕψϕψ′′′′−′′′=(6)参变量函数的求导法则机动目录上页下页返回结束注意：1、熟记求导公式；2、复合函数求导要熟练掌握；3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。4、高阶导数,)()(lim)(0xxfxxfxfxΔ′−Δ+′=′′→Δ二阶导数记作阶导数的阶导数的导数称为函数的函数一般地,)(1)(,nxfnxf−.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)机动目录上页下页返回结束莱布尼兹公式.)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu−=−−−∑=+++−−+′′−+′+=⋅常用的高阶导数公式nnxnx−+−−=ααααα)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln1)(−−=−)2sin()(sin)2()(π⋅+=nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(π⋅+=nkxkkxnn)0(ln)()1()(⋅=aaaanxnxxnxee=)()(1)(!)1()1()5(+−=nnnxnx机动目录上页下页返回结束!)()(nxnn=1)()1(!)1()11(+±−=±nnnxnx1)()1(!)11(+−=−nnxnx.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxxΔ⋅=Δ=Δ⋅=ΔΔ+Δ⋅=−Δ+=ΔΔ+===即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数5、微分的定义定义.的线性主部叫做函数增量微分ydyΔ(微分的实质)机动目录上页下页返回结束6、导数与微分的关系.)(,)()(000xfAxxfxxf′=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理7、微分的求法dxxfdy)(′=求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分.机动目录上页下页返回结束函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud−=+==±=±8、微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx=dxxfdy)(′=机动目录上页下页返回结束基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221−==−==−====−μμμdxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(+−=+=−−=−=====arc机动目录上页下页返回结束9、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.机动目录上页下页返回结束第三章内容小结：机动目录上页下页返回结束罗尔(Rolle)中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)()(bfaf=，则在),(ba内至少存在一点)(baξξ，使得：0)(=′ξf拉格朗日(Lagrange)中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，则在),(ba内至少存在一点)(baξξ，使得：abafbff−−=′)()()(ξ一、微分中值定理：柯西(Cauchy)中值定理：设)(xf和)(xg在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)(xg′在),(ba内每一点处均不为零，则在),(ba内至少有一点)(baξξ，使得：)()()()()()(ξξgfagbgafbf′′=−−。二、洛比达法则：注意应用的条件机动目录上页下页返回结束)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=)()()!1()()(010)1(之间与在其中xxxxnfxRnnnξξ++−+=))(()(0nnxxoxR−=或三、泰勒公式：)0()(!)0(!2)0()0()0()()(2→+++′′+′+=xxoxnfxfxffxfnnn)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2++++′′+′+=++θθnnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林(Maclaurin)公式——带拉格朗日余项的麦克劳林公式——带佩亚诺余项的麦克劳林公式机动目录上页下页返回结束常用函数的麦克劳林公式)(!1!2112nnxxoxnxxe+++++=)()!12()1(!5!3sin212153nnnxonxxxxx+−−+−+−=−−)()!2()1(!6!4!21cos122642++−++−+−=nnnxonxxxxx)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx+−+−+−=+−)(1112nnxoxxxx+++++=−)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx++−−++−++=+机动目录上页下页返回结束时当0→x.)(0)()(0)(单调减少，则若单调增加；，则若xfyxfxfyxf=′=′1函数单调性的判定法：四、导数的应用机动目录上页下页返回结束(1)若),(00xxxδ−∈时，0)(′xf；),(00δ+∈xxx时,0)(′xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)若),(00xxxδ−∈时，0)(′xf；),(00δ+∈xxx时，0)(′xf；则)(xf在0x处取得极小值.(3)若当),(00xxxδ−∈及),(00δ+∈xxx时,)(xf′的符号相同，则)(xf在0x处无极值.定理1(第一充分条件)：2函数极值的判定法设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0=′xf,0)(0≠′′xf,则(1)当0)(0′′xf时,函数)(xf在0x处取得极大值；(2)当0)(0′′xf时,函数)(xf在0x处取得极小值。定理2(第二充分条件)机动目录上页下页返回结束3求极值的步骤:);()1(xf′求导数及不可导点。的根求驻点，即方程;0)()2(=′xf;,)()()3(判断极值点在该点的符号或的正负号在驻点及不可导点左右检查xfxf′′′.)4(求极值求最值的步骤:（1）求驻点和不可导点;（2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。4最大值、最小值问题机动目录上页下页返回结束实际问题求最值:（1）建立目标函数;（2）求最值;最小值）．即为所求的最大值（或点，则该点的数值若目标函数只有唯一驻注意:;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在内具有二阶导数在上连续在设baxfxfbaxfxfbababaxf′′′′5曲线的凹凸与拐点机动目录上页下页返回结束（1）凹凸性的定义、拐点的定义：（2）凹凸性的判别：（3）求拐点的步骤：（1）求出0)(=′′xf的所有零点；（2）求出)(xf′′不存在的点（但)(xf在此点有定义）；（3）考查)(xf在这些点左右的凹凸性。.)1(232yyk′+′′=6曲率：曲率机动目录上页下页返回结束7渐近线：(1)水平渐近线：.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线就是那么为常数或如果xfybybbxfbxfxx====−∞→+∞→（2）斜渐近线,)(limaxxfx=∞→.])([limbaxxfx=−∞→.)(的一条斜渐近线就是曲线那么xfybaxy=+=曲率半径,1k=ρ确定函数)(xfy=的定义域，间断点。对函数进行奇偶性、周期性等性态的讨论；8、函数作图的步骤第一步第二步求出0)(=′xf的点和)(xf′不存在的点，即求出)(xf的所有可能的极值点；第三步求出0)(=′′xf的点和)(xf′′不存在的点，即求出)(xf的所