浅谈数值分析在机械工程领域的应用

浅谈数值分析在机械工程领域的应用摘要：MATLAB是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具,它具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真和最优化设计等功能。本文浅谈MATLAB在机械设计优化问题的几点应用。关键词：MATLAB约束条件机械设计优化数值分析引言：在线性规划和非线性规划等领域经常遇到求函数极值等最优化问题，当函数或约束条件复杂到一定程度时就无法求解，而只能求助于极值分析算法，如果借助计算器进行手工计算的话，计算量会很大，如果要求遇到求解极值问题的每个人都去用BASIC,C和FORTRAN之类的高级语言编写一套程序的话，那是非一朝一日可以解决的，但如用MATLAB语言实现极值问题的数值解算，就可以避免计算量过大和编程难的两大难题，可以轻松高效地得到极值问题的数值解，而且可以达到足够的精度。数值分析是一门研究如何在计算机上求解数学问题算法的学科,主要内容有:误差分析,插值法,数值微积分,数值代数,矩阵计算和微分方程数值解法等,是工科各专业大学本科及研究生中开设的一门计算量大,算法多,实践性比较强的专业课。在长期的教学实践中,数值分析课程常采用C语言进行教学和实验,要求学生既要对算法有充分了解,又要熟练掌握C语言的语法和编程技巧,导致学生和教师将大量的时间和精力都花在繁琐的数值计算以及对各种结果绘图上面，学习效果往往令人不满意。Matlab是MathWorks公司开发的一款以数值计算为主要特色的数学工具软件,在数值计算领域独领风骚。其所带强大的符号运算功能,几乎包括高等数学所涉及的运算,如求极限、导数、微分、积分、函数的级数展开、解常微分方程等等,并且样条工具箱中的命令调用格式极为简单方便,对工科学生来说,掌握起来无需费多大力气,而对机械系等理工科系的同学,通过初步了解Matlab还可以进一步挖掘其强大的功能,对学习其他课程也有帮助。本文讨论基于matlab在机械方面的数值分析。一．数值分析方法的研究1、数值分析方法意义数学是一种工具，用于解决日常生活、工业工程上的相关问题。针对于数值分析中的数学方法，我们小组将主要内容概括分解，将使用到的方法进行对比分析。2、数值分析主要部分。1各类插值方法我们讲过拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、样条插值。2函数逼近及拟合。3数值积分、欧拉法解常微分方程、龙格-库塔法解常微分方程、方程组。【1】插值对于牛顿插值相对于拉氏插值增加一个节点，所有的插值基本多项式要重新取、重新算.2而牛顿插值，节点增加，次数增加，即高次插值函数计算量大，有剧烈震荡，数值稳定性较差（例如龙格现象）；分段插值在分段点上仅连续（即函数值相等），但是有尖点，不光滑（尖点导数不连续）；样条函数可以解决以上问题：使插值函数既是低次阶分段函数，又是光滑的函数。【2】理解逼近问题与拟合问题：1）逼近问题：函数f(x)在区间[a,b]具有一阶光滑度，求多项式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量标准下最小的问题。2）拟合问题：从理论上讲y=f(x)是客观存在的，但在实际中，仅仅从一些离散的数据（xi,yi）(i=1,2…)是不可能求出f(x)的准确表达式，只能求出其近似表达式φ（x）。【3】Romberg（龙贝格）求积法和Gauss求积法的基本思想：(主要研究方法)1）复化求积公式精度较高，但需要事先确定步长，欠灵活性，在计算过程中将步长逐次减半得到一个新的序列，用此新序列逼近I的算法为Romberg求积法。2）对插值型求积公式，若能选取适当的xk.Ak使其具有2n+1阶代数精度，则称此类求积公式为Gauss型。【4】Runge-Kutta方法的基本思想：借助于Taylor级数法的思想，将yn+1=yn+hy’(ξ)中的y’(ξ)（平均斜率）表示为f在若干点处值的线性组合，通过选择适当的系数使公式达到一定的阶。1.《常微分方程初值问题数值求解》的优缺点分析Euler方法计算简单但精度差；向后Euler方法与Euler方法误差相似；梯形方法比Euler方法精度高但算法复杂、计算量很大；改进Euler方法结合了Euler方法和梯形法的优点；2.最好的方法是-------龙格-库塔方法二．机械运动的相关简单概念1．机械运动在物理学中，把一个物体相对于另一个物体位置的变化称作为机械运动，简称运动。2．参照物要判断一个物体是否在运动，必须选择另一个物体作为标准，这个作为标准的物体叫做参照物。对于同一个物体的运动，选择的参照物不同，得出的结论也有可能是不同的。3．运动和静止的相对性自然界中一切物体都在运动，因为地球本身在自转，所以绝对静止的物体是不存在的。通常所描述的物体的运动或静止都是相对于某一个参照物而言的。三．机械运动的数值仿真现举一例：螺栓组联结的优化设计如图1所示的压力容器螺栓组联接中，已知D1=400mm,D2=250mm，缸内工作压力为p=1.5MPa，螺栓材料为35号钢，σs=320Mpa,安全系数S=3,取残余预紧力Q’p=1.6F,采用铜皮石棉密封垫片。现从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数n和螺栓的直径d。3．1设计问题分析若从经济性考虑，螺栓数量尽量少些、尺寸小些，但这会使降低联结的强度和密封性，不能保证安全可靠的工作；若从安全、可靠度考虑，螺栓数量应多一些、尺寸大一些为好，显然经济性差，甚至造成安装扳手空间过小，操作困难。为此，该问题的设计思想是：在追求螺栓组联结经济成本最小化的同时，还要保证联结工作安全、可靠。3．2设计变量目标函数约束条件3．2.1设计变量选取螺栓的个数n和直径d(mm)为设计变量:T21T]x[x]d[nX3．2.2目标函数追求螺栓组联结经济成本Cn最小为目标。而当螺栓的长度、材料和加工条件一定时，螺栓的总成本与nd值成正比，所以本问题优化设计的目标函数为minF(X)=Cn=nd=x1x2①强度约束条件为了保证安全可靠地工作，螺栓组联结必须满足强度条件][32.521dQca；其中MpaSs106.3320][；nnpnDFFFFQQp6093742505.16.246.26.26.1222'N；对于粗牙普通螺纹：由文献[3]推荐，小径d1=0.85d所以，强度约束条件为：0106146192106146192106105624)(2212211xxndndXg②密封约束条件为了保证密封安全，螺栓间距应小于10d，所以，密封约束条件为：01040010)(2112xxdnDXg③安装扳手空间约束条件为了保证足够的扳手空间，螺栓间距应大于5d，所以，安装约束条件为：040055)(1213xxnDdXg④边界约束条件0)(14xXg；0)(25xXg3．3．3建立数学模型综上所述，本问题的数学模型可表达为：设计变量：T21]x[xX目标函数：minF(X)=x1x2约束条件：s.t.0)(Xgi(i=1,2,3,4,5,)现运用MATLAB的优化函数进行求解:先编写M文件function[c,ceq]=mynas(x)c(1)=146192/(x(1)*x(2)^2)-106;%非线性不等式约束c(2)=400*pi/x(1)-10*x(2);c(3)=-400*pi/x(1)+5*x(2);ceq=[];%非线性等式约束在MATLAB命令窗口输入:fun='x(1)*x(2)';%目标函数x0=[4,6];%设计变量初始值A=[-1,0;0,-1];%线性不等式约束矩阵b=[0;0];Aeq=[];%线性等式约束矩阵beq=[];lb=[];%边界约束矩阵ub=[];[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mynlsub)%调用有约束优化函数运行结果如下:x=11.449910.9751fval=125.6637所以，该问题优化结果为：n=11.4499,d=10.9751，目标函数最小值：F(X)=125.6637。根据实际问题的意义取整、标准化：n=12,d=12。由此例可以看出，与其它编程语言相比，MATLAB语言可以简化编程。图2是调用MATLAB绘图函数自动对上例绘制的数学模型要素图（标注数字的曲线为目标函数的等值线），为此在MATLAB命令窗口输入:x1=0.1:20;y1=146192./(106.*x1.^2);y2=400.*pi./(10.*x1);y3=400.*pi./(5.*x1);plot(y1,x1,y2,x1,y3,x1,x(1),x(2),'o')y4=0.1:0.1:20;[y4,x1]=meshgrid(y4,x1);Q=y4.*x1;holdon;[c,h]=contour(y4,x1,Q);holdon;clabel(c,h);四．结束语从上述实例可以看出，利用求解最优化问题具有编程简单，精度很高，速度很快，各种工形式的最优化问题都适用等优点，巧妙各种利用MATLAB语言及数值分析的方法可以取得事半功倍的效果。参考文献1．薛定宇《控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言及应用》，清华大学出版社，19962．濮良贵《机械零件》北京.高等教育出版社。3.李庆扬,王能超.易大义(第4版)[M].清华大学出版社,2001,8