晶体对称性

•§1.1晶格•§1.2晶体的对称性•§1.3典型的晶体结构和表面结构•§1.4倒易点阵和布里渊区•§1.5晶体结构的实验研究黄昆、韩汝琦《固体物理学》第一章C.Kittel《固体物理导论》第一章阎守胜，固体物理基础，第二章第一章晶体结构§1.2晶体的对称性一.对称性的概念二.晶体中允许的对称操作三.晶体宏观对称性的表述：点群四.七个晶系和14种晶体点阵五.晶体的微观对称性：空间群六.二维情形七.点群对称性和晶体的物理性质黄昆书1.5-1.7节阎守胜书2.2节一.对称性的概念一个物体(或图形)具有对称性，是指该物体(或图形)是由两个或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作(线性变换)，各部分调换位置之后整个物体(或图形)保持不变的性质。对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素：点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的不变性三维情况下，正交变换的表示:——其中矩阵是正交矩阵111213122223131333'''xxaaaxyyaaayzzaaaz晶体的宏观对称性的描述111213212223313233ijaaaAaaaaaa绕z固定轴的转动:(Rotation)中心反演(Inversion):平面反映(Reflection):恒等操作(Identityoperation):像转操作(Rotaryreflection):𝑖=−1000−1000−1𝑐𝑧=𝐴𝑖𝑗=𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃0001𝜎(𝑥𝑦)=10001000−1𝐸=100010001𝑠𝑧=𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃0𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃000−1常见对称操作一个物体在某一个正交变换下保持不变物体的对称操作越多，其对称性越高(1).绕三个立方轴转动(9)(2).绕6条面对角线轴转动(6)(3).绕4个立方体对角线轴转动(8)(4).恒等操作/正交变换(1)+中心反演48个对称操作(1).立方体的对称操作正四面体正六角拄它们有哪些对称操作？(2).正四面体的对称操作四个原子位于正四面体的四个顶角上，正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。绕三个立方轴转动180度(3)绕4个立方体对角线轴(120和240度，8)绕三个立方轴(90和270度+中心反演,6)绕6条面对角线轴(180度,6)恒等/正交变换(1)金刚石晶格(3).正六面柱的对称操作1)绕中心轴线转动—5个—3个3)绕相对面中心连线转动—3个4)恒等/正交变换5)以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作——正六面柱的对称操作有24个2)绕对棱中点连线转动—1个1.“对称元素”—简洁明了地概括一个物体的对称性2.对称元素—旋转轴、旋转-反演轴、反演中心、反映面3.一个物体绕某一个转轴转动2𝜋/𝑛，以及其倍数不变时该轴为物体n重旋转轴，计为𝑛4.一个物体绕某一个转轴转动2𝜋/𝑛加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时,该轴为物体n重旋转－反演轴，计为𝑛对称元素面对角线为2重轴，计为2立方体立方轴为4重轴，计为4同时也是4重旋转-反演轴，计为同时也是2重旋转-反演轴，计为体对角线轴为3重轴，计为3同时也是2重旋转－反演轴，计为正四面体体对角线轴是3重轴—不是3重旋转－反演轴立方轴是4重旋转－反演轴—不是4重轴面对角线是2重旋转－反演轴—不是2重轴对称素𝟐的含义先绕轴转动，再作中心反演A’’点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素𝟐存在一个对称面M用表示一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群对称元素为镜面群的概念群代表一组“元素”的集合，G{E,A,B,C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足如下四个规则:①集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素.若A,BG,则AB=CG.叫作群的封闭性②存在单位元素E,使得所有元素满足：AE=A③对于任意元素A,存在逆元素A-1,有：AA-1=E④元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C对称操作群一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的定义。因此一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。在对称操作中保持不动的轴、面或点，称为对称操作群的对称元素，比如转动轴，反演中心，反映面运算法则是连续操作，不动操作是单位元素。二.晶体中允许的对称操作人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原子做周期性排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操作后也应该保持不变。晶体的平移对称性限制了晶体所可能有的点对称操作。绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度,B点转到B’点(B’点必有一个格点)A和B两点等价—以通过B点的轴顺时针转过,A点转到A’点(A’点必有一个格点)设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用来描述且有—n为整数任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称素6,4,3,2,16,4,3,2,11=𝑖,2=𝑚,3=3+𝑖,6=3+𝑚1,2,3,4,6,,,4im不论任何晶体的宏观对称元素只有8种独立的对称元素旋转-反演轴的对称操作1次反轴为对称中心2次反轴为对称面3次反轴为3次轴加对称中心6次反轴为3次轴加对称面晶体中只有1，2，3，4，6次旋转轴，没有5次轴和大于6次以上的轴，可以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面，而5边形和n(6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存在5次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝锰合金中发现了晶体学中禁戒的20面体具有的5次对称性，这是对传统晶体观念的一次冲击。目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其构成原子的长程有序，而不是平移对称性，具有5次对称性的准晶体(Quasicrystal)就是属于原子有严格的位置有序，而无平移对称性的晶体。它的图像可从二维Penrose拼图中得到理解。实际是一种准周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的物质形态—准晶态。准晶态结构特点：具有长程取向序，没有长程平移对称性。其实准晶可以看作是具有平移对称性的六维超空间在三维真实空间的投影准晶2011年度诺贝尔化学奖由以色列科学家达尼埃尔·谢赫特曼DanielShechtman一人获得，以表彰他在发现准晶体方面的工作。The2011NobelPrizeinChemistryisawardedtoDanielShechtmanforthediscoveryofquasicrystals.五次对称的黄金分割无理数:1,1.6181974年Penrose提出的数学游戏彭罗斯瓷砖AlNiCo衍射图二十面体AlPdMn表面的STM图像3DQuasicrystal点群：在点对称操作基础上组成的对称操作群由于点群中的对称操作必须和晶体的平移对称性相容，这种受限制的点群称为晶体学点群(crystallographicpointgroup).晶体中只有8种独立的对称元素：实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各种可能组合之一，由对称元素组合成对称操作群时，对称轴之间的夹角、对称轴的数目，都会受到严格的限制，例如，若有两个2重轴，它们之间的夹角只可能是，可以证明总共只能有32种不同的组合方式，称为32种晶体学点群。形形色色的晶体就宏观对称性而言，总共只有这32种类型，每种晶体一定属于这32种点群之一，这是对晶体按对称性特点进行的第一步分类。三.晶体学点群1,2,3,4,6,,,4im000030,45,60,90点群的熊夫利Schönflies符号：主轴：Cn、Dn、Sn、T和OCn:n次旋转轴；Sn:n次旋转-反演轴；Dn:n次旋转轴加上n个与之垂直的二次轴T:四面体群；O:八面体群。脚标：h、v、dh：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面；v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面；d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。晶体的宏观对称只有32个不同类型点群—不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体只包含一个旋转轴的点群—4个—下标表示是几重旋转轴回转群双面群包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群——4个群只包含旋转反演轴的点群。其中共2个群群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线的反演面，共2个群群加上中心反演群群加上反演面群群加上与n重轴垂直的反演面，共4个群群加上含有n重轴的反演面，共4个群—正四面体点群,含有24个对称操作群—立方点群的24个纯转动操作群—正四面体点群的12个纯转动操作群—群加上中心反演群—立方点群,含有48个对称操作晶体的宏观对称只有32个不同类型四.7种晶系和14种布拉菲格子—32种点群描述的晶体对称性—对应的只有14种布拉伐格子—分为7个晶系—单胞的三个基矢沿晶体的对称轴或对称面的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角14种布拉伐原胞(1).简单三斜1,sCC(2).简单单斜(3).底心单斜22,,shCCC(4).简单正交(5).底心正交(6).体心正交(7).面心正交(8).三角(9).简单四方(四角)(10).体心四方(四角)(11).六角(12).简立方(13).体心立方(14).面心立方晶系对称性特征晶胞参数所属点群Bravais格子三斜只有C1或Ciabc2:C1,CiP单斜唯一C2或CSabc==90º3:C2,CS,C2hP，C正交三个C2或CSabc=＝=90º3:D2,C2V,D2hP，C，I，F三方唯一C3或S6a=b=c=＝90º5:C3,S6,D3C3Ｖ,D3dR四方唯一C4或S4a=bc=＝=90º7:C4,S4,C4h,D4C4V,D2d,D4hP，I六方唯一C6或S3a=bc=＝90º=120º7:C6,C3h,C6h,D6,C6V,D3h,D6hH立方四个C3a=b=c=＝＝90º5:T,Th,TdO,OhP，I，FP:简单格子；C:底心格子；I:体心格子；F:面心格子;R:三方格子;H:六方格子7大晶系的形成与转换五.空间群(spacegroup)晶体的微观对称性：晶体的微观结构必须考虑与平移有关的对称元素：1.平移操作与平移轴。2.螺旋旋转与螺旋轴。3.滑移反映与滑移面32种点群，再加上这3类可能的操作就可以导出230种空间群。螺旋轴与滑移面73点式空间群157种非点式空间群空间群是对晶体对称性更细致的分类，反映了晶体中各原子的位置及环境特点，对于深入分析晶体的性质，非常重要。所有的晶体结构，就它的对称性而言，共有230种类型，这是理论上的分析结果，至目前为止，还有几十种空间群尚未找到具体晶体的例子。除了普通的三个空间维度（即位置坐标）外，还可能要考虑另一个具有不连续的维度，例如原子自旋上下，这时该空间的对称群被叫做色群，理论分析应该有1651种类型。六.二维情形晶体表面的几何结构—晶体总是存在着表面，认识晶体表面的结构进一步研究晶体表面的性质—垂直于晶体表面的方向为Z轴，X和Y轴在晶体表面上—晶体在Z轴方向上的周期性被破坏而在XY平面内仍然保持着周期性用二维布拉伐格子来表征晶体表面的空间周期性二维布拉伐格子—其中为基矢，为整数晶体表面二维晶格的点群表示晶格周期性在Z轴方向的限制，二维晶格的对称素只有6个垂直于表面的n重转轴(共5个)垂直于表面的镜面反演m(1个)由6种对称素可以组成10种二维点群，按照