会议筹备问题-数学建模

会议筹备摘要为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。首先，运用Matlab软件对前三届回执人数和实际与会人数进行拟合，建立模型一，预测实际与会人数657人，经检验模型准确度为97.8%。其次，为预订宾馆客房，建立以预定宾馆数量最小为目标，含01规划的模型二。运用Lingo求解，得到最少预订4个宾馆，分别为宾馆,,,①②③⑦。然后，为安排会议室，建立以会议室租金为目标函数的整数规划模型二。运用Lingo求解，得到所有会议室半天租金最小为5200元。会议室安排为：宾馆②一间，宾馆③两间，宾馆⑦三间。最后，为确定车辆安排，本文在假设与会代表参加每组会议人数均等的情况下，结合各宾馆住宿总人数和会议室规格，制定车辆分配方案，其中33座车3辆，36座车2辆，45座车4辆，并使半天租车总费用最低为6400元。关键词：预测模型；Matlab拟合；01规划；整数规划；车辆安排一问题重述一家会议服务公司负责承办一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。于接待这次会议的十家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿，各宾馆客房、会议室价位和规格不相同。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，这些都可以作为预订宾馆客房的参考。会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用45座、36座和33座三种类型的客车接送代表。租金分别是半天800元、700元和600元。为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。二符号说明符号含义i1,2,...,10i分别代表宾馆1,2...,10j1,2,...,6j分别代表发回回执代表的六种要求：合住1，合住2，合住3，独住1，独住2，独住3ijx预订i宾馆的第j类住房的数量ijLi宾馆第j类住房的数量jk回执代表对第j类住房的需求比例jM回执代表对第j类住房的需求数量jN实际与会代表分别对第j类住房的需求数量ja实际与会代表对第j类住房的需求总数量ib宾馆i的房间总数Q租用会议室的总租金Z预订宾馆数量三模型假设1.与会代表前往六个会议室的人数是均等的。2.两宾馆距离500米之内不设车辆接送,且代表对此没有意见。3.预订客房数目刚好满足预测用房数量。四问题分析题目要求从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案，需要从以下几个方面考虑。为确定预订哪个宾馆，必须使预订宾馆数量最少。为了确定预订宾馆的数量，必须知道与会代表需要的各种客房的数目。根据以往几届会议代表的回执和与会情况，得到各届会议实际与会人数。然后将实际与会人数和回执人数联系起来，预测本届实际与会人数。再根据题中所给附表2的信息，推测出六种要求的回执代表占回执总人数的比例，将实际与会人数乘以该比例，即可得出实际与会代表六种要求的实际人数，据此推算出各类房间的需求数量。然后运用01规划求出最小的宾馆数量。为了确定会议室的选址，应考虑到花费最少这一因素。结合各宾馆安排代表数量，运用整数规划的方法，确定会议室选址。从经济方面考虑，会议要求在花费最少的情况下，安排车辆运送代表。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会议，据此本文假设代表参加每个分组会议的人数是平均的。为低碳环保，本文假定两宾馆距离小于500米，由代表步行至会议室，并结合费用情况，确定车辆安排。五模型建立与求解5.1模型一（与会人数）5.1.1模型建立根据以往几届会议代表回执和与会情况（见附表3），得到每届会议实际与会人数见表1表1往几届会议代表回执与实际与会人数单位（人）第一届第二届第三届第四届第五届发来回执的代表数量315356408711755实际来的代表数量283310362602根据表1数据对实际与会的人数和发回回执的人数运用Matlab进行拟合，以预测第五届实际与会人数。设发来回执的代表数量为自变量x，实际与会代表数为因变量y用Matlab对前三届实际与会的人数和发回回执的人数进行拟合，得到图1，如下：320330340350360370380390400280290300310320330340350360yvs.xfit1图1可得拟合方程：0.856110.43yx5.1.2模型检验将第四届发来回执的人数代入方程，运用Matlab求解，得到第四届与会人数为619人，而与实际与会人数602人，预测准确度为97.48%，该预测模型合理。5.1.3模型求解现将第五届实际回执人数755，带入预测模型，运用Matlab求解，得本届与会人数为657人。5.2模型二（宾馆数量）5.2.1模型分析1.确定各类住房数量①确定发回回执代表住房需求比例根据本届的会议代表回执中有关住房要求的信息（见附表2），将回执代表的各类需求的人数分别与回执的总人数相比，即：=755jjMk其中:1,2...,6j分别为合住1、合住2、合住3、独住1、独住2、独住3六种不同要求；jk表示回执代表对第j类住房的需求比例；jM代表回执代表对第j类住房的需求数量。依据上式，得到回执代表的需求的比例关系，见表2。表2回执代表住房需求比例合住1合住2合住3独住1独住2独住3男0.2039740.1377480.0423840.1417220.0900660.054305女0.1033110.0635760.0225170.0781460.0370860.025166说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120160元、161200元、201300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。②确定实际与会代表住房要求数目将模型一求解得到该届实际与会人数乘以执回代表住宿需求比例，得到实际与会代表住宿各个需求的数量，即：=657jjNk其中，jN实际与会代表对第j类住房需求数量。实际与会代表住房要求数量见表3表3实际与会代表住房要求数量合住1合住2合住3独住1独住2独住3男1359128946036女684215522517③确定各类住房数量合住1住房数=11+22男合住女合住即：13568101.522由于男女不能混住，进一取整得102。同理可得，合住二，合住三。独住1住房数=男独住1+女独住1即：9452146同理可得，独住二，独住三。实际与会代房表各类房间需求总数，见表4表4各类住房数量合住1合住2合住3独住1独住2独住3总房间数102672214685532.确定目标函数为了确定宾馆i是否被预定，引入0-1变量，确定宾馆数量，即：1if预订宾馆0不预定宾馆根据题意要求，本文将预订宾馆数量最少作为目标函数即：10=1iiMinZf3.确定约束条件约束条件一由于单人间数量不足，独住的人可以安排在双人间，所以双人间数量要比实际合住数量多,因此：10所宾馆的第j类住房数量之和不小于预订第j类住房的总数量（1,2,32j分别代表附表中的前三种情况）即：101(1,2,3)ijjixaj10所宾馆的第j类住房数量之和不大于预订第j类住房的要求总数量（4,5,62j分别代表附表中的后三种情况）即：101(4,5,6)ijjixaj②约束条件二预订宾馆i的房间数之和不大于宾馆i的房间总数即：61ijiijxbf③约束条件三由于单间数量不足，为满足代表们独住的要求，需使得合住1与独住1，合住2与独住2，合住3与独住3，分别满足预订房间的总和不小于与会代表实际需求的房间数。即：10101411248iiiixx10105211152iiiixx1010361175iiiixx④约束条件四预订i宾馆j类房间的数量不大于该种的房间数量即：ijijxL其中，ijL为宾馆i第j种房间的数量。5.2.2模型建立综上所述，模型二为：10=1iiMinZf10110110101411101052111010361161(1,2,3)(4,5,6)248..152751ijijijjiijjiiiiiiiiiiiiiijiijixLxajxajxxstxxxxxbff预订宾馆0不预定宾馆其中，ijL、ib数据见附表1，ja数据见表45.2.3模型求解运用Lingo求解（过程见附录1）得最少预订4个宾馆，分别为宾馆①、②、③、⑦；各宾馆预订房间数见表5表5各宾馆预订房间数合住1合住2合住3独住1独住2独住3总人数宾馆①50253020200宾馆②8148258宾馆③502427175宾馆⑦5040301705.3模型三（租用会议室）5.3.1模型分析①确定目标函数为了预测会议室的选址，再次引入01变量，建立以会议室租金为目标函数的整数规划模型。pf代表0或1，其中0代表不租用会议室，1代表租用会议室。即：01pf不租用会议室租用会议室目标函数为：租用会议室租金=选定各宾馆会议室租金乘以pf即：123456789101112131500120012001000100015001200800800+10008008001000MinQfffffffffffff其中，p为宾馆1，2,3,7对应的13个会议室②确定约束条件题目要求选择6个会议室，因此可得约束条件：1316ppf（pf代表所选宾馆的各个会议室）5.3.2模型建立建立以会议室总租金最少为目标函数的模型，租用会议室租金=选定各宾馆会议室租金xpf12345678910111213150012001200100010001500120080080010008008001000MinQfffffffffffff13101..6pppfstf不租用会议室租用会议室5.3.3模型求解运用Lingo软件进行求解，可得半天会议室租金为5200元，全天租金为10400元。其中会议室安排情况见表6（0代表不安排会议室，1代表安排会议室）。表6会议室安排情况1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f0000100110111综上所述：应选择宾馆②，130人间会议室1间；宾馆③，100人间会议室2间；选择宾馆⑦，140人间会议室2间，200人间会议室1间。全天租用会议室的金额最小为10400元。5.4车辆安排1.分析和假设由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会议，据此假设代表参加每个分组会议的人数是相同的。为低碳环保，本文假定小于500米时，代表步行到会议室。由表5可知，住在宾馆1的总人数为200，参加各分组会议的人数均最多为34；住在宾馆2的总人数最多为258，参加各分组会议的人数均最多为43；住在宾馆3的总人数最多为175，参加各分组会议的人数均最多为30；住在宾馆4的总人数最多为170，参加各分组会议的人数均最多为29。依据模型三可知会议安排为：宾馆②一间会议室，宾馆③两间会议室，宾馆⑦三间会议室。2.制定车辆分配方案1.宾馆①到宾馆③的代表人数为68人，需两辆36座汽车；2.宾馆②到宾馆③的代表人数为86人，需两辆45座汽车；3.宾馆③到宾馆②的代表人数为30人，需一辆33座汽车；4.宾馆③到宾馆⑦的代表人数为90人，需两辆45座汽车；5.宾馆⑦到宾馆③的代表人数为90人，需两辆33座汽车；综上：半天租车总费用共计6400元，全天共12800元。六模型的评价及推广6.1模型的评价6.1.1模型的优点①运用整数规划模型，合理解决了住宿安排，会议室租借，客车租用的问题。②为普遍的会议安排建立模型，实用性强，所以可以成为会议安排的首选方案。③该模型整个过程思路清晰，结构明了，没有运用太偏的知识，容易