平行四边形经典证明题例题讲解

经纬教育平行四边形证明题经典例题（附带详细答案）1．如图，EF、是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BEDF∥，求证：AFCE．【答案】证明：平行四边形ABCD中，ADBC∥，ADBC，ACBCAD．又BEDF∥，BECDFA，BECDFA△≌△，CEAF2．如图6，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，，求四边形ABCD的周长．【答案】20、解法一:∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设xA（度），则20xB，xC2．根据四边形内角和定理得，360602)20(xxx．3,6ABBCABCD∥180CBBD180DCADBCABCD36ABCDBCAD，ABCD183262ACABCD∥DCABACBDACCA，ABC△CDA△36ABCDBCAD，ABCD183262BDABCD∥CDBABDABCCDAADBCBDADBCABCD36ABCDBCAD，ABCD183262DCABEFADCBADCBADCB解得，70x．∴70A，90B，140C．4．（如图，EF，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AFCEDFBEDFBE，，∥．求证：（1）AFDCEB△≌△．（2）四边形ABCD是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DFBE∥，DFEBEF．180AFDDFE°，180CEBBEF°，AFDCEB．又AFCEDFBE，，AFDCEB△≌△(SAS)．（2）由（1）知AFDCEB△≌△，DACBCAADBC，，ADBC∥．四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，2BE.（1）求EC∶CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CPP于点（如图13-2），试判断AEEP与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AEEF2390°四边形ABCD为正方形90BC°1390°1290DAMABEDAAB°，DAMABE△≌△DMAEAEEPDMPE四边形DMEP是平行四边形．解法②：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形证明：在AB边上取一点M，使AMBE，连接ME、MD、DP．90ADBADAMABE，°RtRtDAMABE△≌△14DMAE，1590°4590°AEDMAEEPDMEPABDEFCADCBEBCEDAFPF四边形DMEP为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。证明：四边形DECF是平行四边形。【关键词】平行四边形的判定【答案】∵D.E、F分别为AB.BC.CA的中点，∴DF∥BC，DE∥AC，∴四边形DECF是平行四边形.7．（2009年包头）已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过点(10)A，，(20)B，，(02)C，，直线xm（2m）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限），使得EDB、、为顶点的三角形与以AOC、、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线解：（1）根据题意，得04202.abcabcc，，解得132abc，，．232yxx．（2）当EDBAOC△∽△时，得AOCOEDBD或AOCOBDED，∵122AOCOBDm，，，当AOCOEDBD时，得122EDm，∴22mED，BCEDAFP541MyxOyxOBADC(x=m)(F2)F1E1(E2)∵点E在第四象限，∴122mEm，．当AOCOBDED时，得122mED，∴24EDm，∵点E在第四象限，∴2(42)Emm，．（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则1EFAB，点F的横坐标为1m，当点1E的坐标为22mm，时，点1F的坐标为212mm，，∵点1F在抛物线的图象上，∴22(1)3(1)22mmm，∴2211140mm，∴(27)(2)0mm，∴722mm，（舍去），∴15324F，，∴33144ABEFS．当点2E的坐标为(42)mm，时，点2F的坐标为(142)mm，，∵点2F在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2mmm，∴27100mm，∴(2)(5)0mm，∴2m（舍去），5m，∴2(46)F，，∴166ABEFS．注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．8．（2009年莆田）已知：如图在ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。（1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？【关键词】四边形、全等三角形、变换（1）DOEBOF①△≌△；证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ADBC∥∴EDOFBOEF，又∵ODOB∴DOEBOFAAS△≌△BOMDON②△≌△证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ABCD∥EBMODNFCAEBMODNFCA∴MBONDOBMODNO，又∵BODO∴BOMDONAAS△≌△ABDCDB③△≌△；证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ADCBABCD，又∵BDDB∴ABDCDBSSS△≌△（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．8分9．(2009年温州)在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)【关键词】平行四边形的性质，判定【答案】解：（1）（2）10．（2009年中山）在ABCD中，10AB，ADm=，60D°，以AB为直径作O⊙，（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）；（2）当m取何值时，CD与O⊙相切．【关键词】利用平行四边形证明线段相等【答案】（1）分别过AO，两点作AECDOFCD，，垂足分别为点E，点F，AEOFOF∥，就是圆心O到CD的距离．四边形ABCD是平行四边形，ABCDAEOF∥，．在RtADE△中，60sinsin60AEAEDDADAD°，，°，ADBCOADBCOEFADBCOEF333222AEAEmOFAEmm，，，圆心到CD的距离PF为32m．（2）32OFm，AB为O⊙的直径，且10AB，当5OF时，CD与O⊙相切于F点，即3103523mm，，当1033m时，CD与O⊙相切．11．(2009年宁德市)（本题满分8分）如图：点A.D.B.E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）【关键词】平行四边形的判定【答案】解法1：图中∠CBA＝∠E证明：∵AD＝BE∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝DE∵AC∥DF∴∠A＝∠FDE又∵AC＝DF∴△ABC≌△DEF∴∠CBA＝∠E解法2：图中∠FCB＝∠E证明：∵AC＝DF，AC∥DF∴四边形ADFC是平行四边形∴CF∥AD，CF＝AD∵AD＝BE∴CF＝BE，CF∥BE∴四边形BEFC是平行四边形∴∠FCB＝∠E12．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，6cmAD，4cmCD，10cmBCBD，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（05t）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PEAB∥？（2）设PEQ△的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使225PEQBCDSS△△？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算【答案】AFEDCBAFEDCBAEDQPBFC解：（1）∵PEAB∥∴DEDPDADB．而10DEtDPt，，∴10610tt，∴154t．∴当15(s)4tPEAB，∥．（2）∵EF平行且等于CD，∴四边形CDEF是平行四边形．∴DEQCDQEBDC，．∵10BCBD，∴DEQCDQEBDC．∴DEQBCD△∽△．∴DEEQBCCD．104tEQ．∴25EQt．过B作BMCD⊥，交CD于M，过P作PNEF⊥，交EF于N．2210210049646BM．∵EDDQBPt，∴102PQt．又PNQBMD△∽△，PQPNBDBM，1021046tPN，4615tPN211246464612255255PEQtSEQPNttt△．（3）114468622BCDSCDBM△．若225PEQBCDSS△△，则有2464628625525tt，解得1214tt，．（4）在PDE△和FBP△中，10DEBPtPDBFtPDEFBPPDEFBP，，△≌△，AEDQPBFCNM∴PDEPFCDEPFCDSSS△五边形四边形FBPPFCDSS△四边形86BCDS△．∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．13．(2009年达州)如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC.BC于点G、F.(1)求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC＝CE；（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.【关键词】圆,平行四边形,勾股定理【答案】（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O∴DF⊥DE又∵AC∥DE∴DF⊥AC∴DF垂直平分AC（2）由（1）知：AG=GC又∵AD∥BC∴∠DAG=∠FCG又∵∠AGD=∠CGF∴△AGD≌△CGF（ASA）∴AD=FC∵AD∥BC且AC∥DE∴四边形ACED是平行四边形∴AD=CE∴FC=CE5分（3）连结AO；∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=AD2-AG2=52-42=3cm设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3在Rt△AOG