【初三】二次函数中的最值问题(学生版)

二次函数中的最值问题模块1：二次函数的最值点问题一般二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值点a0,开口向上abx2处取得最小值abac442，无最大值a0,开口向下abx2处取得最大值abac442，无最小值区间范围类二次函数：m≤x≤n，y=ax2+bx+c（a≠0）的最值点a0mnmnmnmnn≤ab2nx时有最小值mx时有最大值2nm≤ab2≤nabx2时有最小值mx时有最大值m≤ab2≤2nmabx2时有最小值nx时有最大值ab2≤mmx时有最小值nx时有最大值a0mnmnmnmnn≤ab2mx时有最小值nx时有最大值2nm≤ab2≤nmx时有最小值abx2时有最大值m≤ab2≤2nmnx时有最小值abx2时有最大值ab2≤mnx时有最小值mx时有最大值典型例题【例1】（1）（2016•普陀区一模）二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最点．（填：“高”或“低”）（2）（2016•长春模拟）若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．±2D．±1（3）（2016•滨江区模拟）已知二次函数y=a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，则a、b的大小比较为（）A．a＞bB．a＜bC．a=bD．不能确定【例2】（2016春•余杭区月考）在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C=70°．若二次函数y=（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）的最小值为﹣，则∠A=度．【例3】（2016•东明县一模）当0≤x≤3时，二次函数y=3x2﹣12x+5的最大值是，最小值是．【例4】（2016•天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3【例5】（2015•天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．菁优网版权所有模块二：二次函数的面积（线段）最值问题几种常见解法思路：1、割形、补形法：几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．2、“铅垂高，水平宽”面积法转化为线段最值问题：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：2ah＝ABCS，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半，由于B、C是定点，故a是定长，从而将三角形面积的最大值转化为高h线段的最大值。3、切线法：通过平移到极限相切的情况得到最大距离，通常用来确定高线最大值时的情况。【例6】（重庆市江津区）如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．【例7】（2016•日照）如图1，抛物线y=﹣[（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；【例8】（2016•漳州）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；