7.1逆用函数求导公式--------构造法解题

1浅议逆用函数求导公式解题在数学公式使用时，我们可以正用，逆用，变形使用公式，如两角和与差的三角公式逆用，可以用辅助角公式解决；线性规划的目标函数，常见的有截距，距离，斜率公式的形式；求定积分的运算就是求导公式的逆用寻找原函数；有些数学试题是两个函数和差积商的导数公式逆用，可以通过构造新函数来解决。本文通过对求导数公式的逆用，构造新函数，并结合函数的单调性，奇偶性来解决问题。背景知识：(1))()(])()([xgxfxgxf(2))()()()(])()([xgxfxgxfxgxf(3))()()()()(])()([2xgxgxfxgxfxgxf类型一和差导数公式逆用例1.设函数()fx，()gx在,ab上均可导，且()()fxgx，则当axb时，有.A()()fxgx.B()()fxgx.C()()()()fxgagxfa.D()()()()fxgbgxfb解：构造)()()(xgxfxF，0)()()(xgxfxF，)(xF为增函数，)()()(bFxFaF即)()()()()()(bgbfxgxfagaf，()()()()fxgagxfa，选C类型二积的导数公式逆用：例2.设)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当0x时,()()()()fxgxfxgx＞0.且0)1(g.则不等式0)()(xgxf的解集是_________解：构造)()()(xgxfxF，则0)()()()()(xgxfxgxfxF，)(xF为增函数，)(xF为奇函数，由0)1(g，得0)1(F，结合)(xF的图象可得0)(xF的解集为)1,0()1,(例3．设函数()fx是定义在,0上的可导函数，其导函数为()fx，且有xxfxxf)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(fxfx的解集为（）A．,2012B．20120，C．,2016D．20160，解：构造()()Fxxfx，由()()fxxfxx，0x得，[()]0xfxx，则当0x时，()0Fx，即()Fx在(,0)是减函数，(2014)Fx(2014)(2014)xfx，(2)(2)(2)Ff，由题意：(2014)Fx＞(2)F又()Fx在(,0)是减函数，∴20142x，即2016x，故选C例4设)(xf是定义在R上的可导函数，且满足0)()(xfxxf.则不等式)1(1)1(2xfxxf的解集为解：构造)()(xxfxh，因为0)()(xfxxf，)(xh0)]([xfx，)(xh在定义域上递增函数，所以)1(1)1(122xfxxfx，1x，112xx，2x，解集为)2,1[例5设函数()fx是定义在(0)，上的可导函数，其导函数为()fx，且有22()()fxxfxx，则不等式2(2014)(2014)4(2)0xfxf的解集为（）A．,2012B．20120，C．,2016D．20160，解：构造2()()Fxxfx由22()()fxxfxx，0x得：232()()xfxxfxx，即23[()]0xfxx，令2()()Fxxfx，则当0x时，()0Fx，即()Fx在(,0)是减函数，2(2014)(2014)(2014)Fxxfx，(2)4(2)Ff，(2014)(2)0FxF，2()Fx在(,0)是减函数，所以由(2014)(2)FxF得，20142x，即2016x，故选C例6．函数)(xf是R上的可导函数,0x时，()()0fxfxx，则函数1()()gxfxx的零点个数为（）A．3B．2C．1D．0解：构造函数)()(xxfxF，)()()(xfxxfxF，()()0fxfxx，0)(xxF，当0x时，0)(xF，)(xF为增函数，当0x时，故可得0)(xF，)(xF为减函数，0)0(F,0)(xF，1()()gxfxxxxFxxxf1)(1)(无零点例7定义在上R上的可导函数)(xf，满足1)()(xfxf,4)0(f，则不等式3)(xxexfe（其中e为自然对数的底数）的解集为_________解：构造函数xxexfexF)()(，)(xF)1)()(()()(xfxfeexfexfexxxx,)(xF为R单调增函数，3)0(F,原不等式等价于)0()(FxF,解集为),0(例8．(2013辽宁)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，f(2)＝2e8，则x＞0时，f(x)()．A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值解：令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，F(2)＝4·f(2)＝2e2.由x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，得x2f′(x)＝exx－2xf(x)＝2e2xxfxx，∴f′(x)＝3e2xFxx.令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝2ee(2)exxxxxx.∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.又x＞0，∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0，＋∞)单调递增．∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.例9（2015-04-24太原二模）已知函数f(x)定义域为),0(的，且满足xf′(x)＋f(x)＝xxln，eef1)(，则下列结论正确的是()．A．f(x)有极大值，无极小值B．f(x)有极小值，无极大值C．f(x)既有极大值又有极小值D．f(x)既无极大值也无极小值解析：令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝xxln，xxFxf)()(，22)(ln)()()(xxFxxxFxxFxf令)(ln)(xFxxt，xxxFxxtln1)(1)(当ex时，0)(xt，单调递减当ex0时，0)(xt，单调递减0)(ln)(maxeFext，11)(eeeF.∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.例10．()fx是定义在(0,)上的非负可导函数，且满足()()0xfxfx，对任意正数,ab，若ab，则必有3()A．()()afbbfaB．()()bfaafbC．()()afafbD．()()bfbfa解：由()()0xfxfx可得()()xfxfx，因为(0,)x且()0fx，所以()0fx在(0,)上恒成立，所以()fx在(0,)单调递减或()fx为非负的常数函数（当且仅当(0,)x时，都有()0fx时，()fx才为常数函数），当()fx在(0,)单调递减时，由0ab可得()()0fafb，再由不等式性质中的可乘性可得()()bfaafb；当()fx为非负常数函数时，()()0fafb，所以()()afbbfa（当且仅当()0((0,))fxx时，等号成立），综上可知，选A.方法二：由()()0xfxfx，即[()]0xfx，设()()Fxxfx，则()0Fx，所以()Fx在(0,)单调递减或()Fx为恒大于零的常数函数（当且仅当(0,)x时，都有()0Fx时，()Fx才为常数函数），当()Fx在(0,)单调递减时，由ab，可得()()FaFb即()()afabfb；当()Fx为恒大于零的常数函数时，()()FaFb即()()afabfb，根据不等式传递性，)()()()(bafbbfaafabf方法三：构造函数xxfxF)()(，2)()()(xxfxfxxF，由()()xfxfx得，2)()()(xxfxfxxF0)()(2xxfxf，)(xF为单调减函数或常函数，由ab可得()()afbbfa10.已知函数y)(xf是定义在R上的奇函数，且当)0,(x时不等式0)()('xxfxf成立，若)3(33.03.0fa，),3(log)3(logfb)91(log)91(log33fc，则cba,,的大小关系是（）A．cbaB．abcC．cabD．bca答案C类型三商的导数公式逆用：当出现导数差的形式时，可以考虑商的求导公式例11．已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，0)1(f，当0x时，有2()()0xfxfxx成立，则不等式0)(xf的解集是A．(1,0)(1,)B．(1,0)C．(1,)D．(,1)(1,)解：构造xxfxF)()(由当0x时，有2()()0xfxfxx成立,知函数xxfxF)()(的导函数0)()()(2xxfxfxxF在),0(上恒成立,所以函数xxfxF)()(在),0(上是增函数,又因为函数)(xf是定义在R上的奇函数,所以函数xxfxF)()(是定义域上的偶函数,且由0)1(f得0)1()1(FF,由)()()(xFxxxfxxf,则由0)(0xFx0)(0xFx得由图可知不等式0)(xf的解集是),1()0,1(.故选A.例12．设函数()()xfxFxe是定义在R上的函数，其中()fx的导函数为'()fx，满足'()()fxfx对于xR恒成立，则A．22012(2)(0),(2012)(0)feffefB．22012(2)(0),(2012)(0)feffefC．22012(2)(0),(2012)(0)feffefD．22012(2)(0),(2012)(0)feffef4解：构造()()xfxFxe，由'()()fxfx，知0)()()()()()(2xxxxexfxfeexfexfxF，故函数()()xfxFxe是定义在R上的减函数，),0()2(FF即)0()2()0(2202fefefef）（，同理可得)0()2012()0(2012201202012fefefef）（，故选A例13设函数()fx的导函数为)(xf，若对任意Rx都有)()(xfxf成立，则（）A．(ln2016)2016(0)ffB．(ln2016)2016(0)ffC．(ln2016)2016(0)ffD．(ln2016)f与2016(0)f的大小关系不能确定解：令)(xF()exfx，则()()()exfxfxFx，∵对任意x∈R，都有()()fxfx成立，∴)(xF在),(上单调递增，∴)0()2015(lnFF，即0(ln2016)(0)2016eff，∴(ln2016)2016(0)ff，故选C．例14设函数()fx是定义在R上的可导函数，其导函数为()fx，)()(xfxf,且1)3(f,解不等式3)(xexf解：构造xexfxg)()(，则xexfxfxg)()()(''，因为()()fxfx，所以0)('xg；即函数)(xg在R上为增函数，)3()(gxg，3x例15．若定义在R上的函数f(x)的导函数为()fx，且满足()()fxfx，则(2011)f与2(2009)fe的大小关系为（）.A、(2011)f2(2009)feB、(2011)f=2(2009)