8.1二元一次方程组

“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!”——法国数学家笛卡儿[Descartes,1596-1650]方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．分为九章，“方程”是其中的一章．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，同时也是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族.每张成人票5元，每张儿童票3元.他们中有几名成人?几名儿童？解：设有x名成人，则有（8-x）名儿童。依题意得：他们在谈论什么呢？我们8个人去商丘动物园玩，买门票花了34元.5x+3（8-x）=34要求的有两个未知数每张成人票5元，每张儿童票3元.他们中有几名成人?几名儿童？若设他们中有x名成人,y名儿童.由此你能得到什么方程?可以得到的方程是：x+y=8和5x+3y=34他们在谈论什么呢？我们8个人去商丘动物园玩，买门票花了34元.思考一:上述两个方程有什么共同特征?思考二:它与我们学过的一元一次方程比较有什么区别?思考三:你能给它取名吗?思考四:请同学们用自己的语言归纳什么叫二元一次方程.x+y=85x+3y=34含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程.（1）“二元”指所含两个未知数.“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数.（2）“整式方程”指方程的两边都是整式.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由.“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数.122)6(yx132)3(ba012)4(xxy1052)2(x20)1(2yxyx52)5(刚才讲的方程x+y=8和5x+3y=34中的x的意义相同吗？y呢？刚才讲的方程x+y=8和5x+3y=34中，x和y的含义是分别相同的。因而，必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34把它们联立起来，得：x+y=85x+3y=34方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.x+y=85x+3y=34请判断下列各方程组中，哪些是二元一次方程组，哪些不是？并说明理由。x-y=2x+1=2(y-1)x+2y=73y+1=2x+y=62z+1=43m+2n=5y=3x=2x+y=4x=1y=2(1)(2)(3)(5)(4)(6)如果方程组中共有两个未知数，那么它们也组成一个二元一次方程组xy012345678876543210我们来看方程，符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？8yx若不考虑实际意义你能再找出多少此方程的解？一般地，一个二元一次方程有无数个解.如果对未知数的取值附加某些限制条件，则可能有有限个解.使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一组解.62yx通常记作：······满足方程5x+3y=34且符合实际意义的x,y的值有哪些？xy2583xy876543210我们来看方程，符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？8yx012345678二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.例如就是二元一次方程组的解.x=5y=3x+y=85x+3y=341、下面4组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？x=-2y=6(1)x=3y=4(2)x=4y=3(3)x=6y=-2(4)2、二元一次方程组x+2y=10y=2x的解是？x=4y=3（1）x=3y=6（2）x=2y=4（3）x=4y=2（4）(２)下列各组数中，是方程x-3y=2的解，是方程2x-y=9的解。Ａx=-1y=-1Bx=5y=1Cx=3y=2Dx=2y=-5B，DA，B(３)方程组x-3y=22x-y=9的解是上面的（）B例１.(1)若3xm+1+5y2-n=3是一个二元一次方程，则m=_______，n=________．０１•例2.列出二元一次方程组,并根据问题的实际意义找出问题的解.•已知钢笔每支5元,圆珠笔每支2元,小明用16元钱买了这两种笔共5支,试求小明买钢笔和圆珠笔各多少支?解:设小明买钢笔x支,买圆珠笔y支，根据题意列出方程组得因为x和y只能取正整数，所以观察方程组得此方程组的解是x+y=55x+2y=16x=2y=3答：小明买钢笔２支，圆珠笔３支。同学们通过本节课的学习，你有什么收获呢？1、含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程。2、把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。3、一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。(4)在自然数范围内方程的解是探究：对于x+2y=5，思考下列问题：x=1y=2x=3y=1x=5y=0(3)取一个你自己喜欢的数作为x的值，求所对应的y的值；(2)用含x的式子表示y；(1)用含y的式子表示x；1.已知是二元一次方程ax+3y=7的解，则a=。21yx12、写出一个二元一次方程组,使得它的解为x=2y=3鸡兔同笼和韩信点兵、李白买酒被称为我国古代数学的三大趣题，它被记载于《孙子算经》一书中，距今已有1500多年。今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？zhì笼子里有若干只鸡和兔.从上面数,有35个头,从下面数,有94条腿.鸡和兔各有几只？意思是：