矩阵补充习题含答案

第二章矩阵补充习题1．已知对于n阶方阵A，存在自由数k，使得kA0，试证明矩阵E–A可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）．【详解】由代数公式kk-11-a(1a)(1+a++a)以及A与E可交换，有kk1E-A(EA)(E+A+A)，而kA0故有k1(EA)(E+A+A)E可知E–A可逆，且有-1k1E-AE+A+A（）．2．设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数．记分块矩阵*0TEPAA，TAQb，其中*A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是1TAb．【分析】本题的关键是对于含*A的计算或证明题，首先应联想到关系式**AAAAAE．另外，在进行矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些是数，左乘还是右乘．【详解】（1）因**AAAAAE，故***0TTTTTEAAPQAAAAAAbAb=10TAAbA．（2）由（1）可得21TPQAbA，而,0,PQPQPA且，故1TQAbA．由此可知，0Q的充分必要条件为1TAb，即矩阵Q可逆的充分必要条件是1TAb．【评注】本题综合考查了矩阵乘法运算、矩阵乘积行列式的性质以及伴随矩阵的性质．要特别注意重要公式：**AAAAAE，且A可逆时，有*11*1**1,,,AAAAAAAAAAAA．3．设A和B均为nn矩阵，则必有(A).BABA(B)AB=BA.(C)BAAB.(D)111)(BABA.【】【详解】矩阵的乘法运算不满足交换律，因此一般BAAB,但BAAB，而行列式是数，可交换，于是有BAABBAAB，可见应选(C).对于(A),(D)，主要考查行列式和矩阵的运算性质，均可通过反例说明不成立。4．设101020101A，而2n为正整数，则12nnAA.【分析】本题若分别计算出nA及1nA，再代入12nnAA求其值，则将问题弄复杂化了。一般而言，对于一个填空题，可先试算,,32AA,找出规律后，在进行计算。【详解】因为AA22020402021010201011010201012，故有.0)2(2221AAAAAnnn5．设n维向量0,),0,,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵TEA，TaEB1，其中A的逆矩阵为B，则a=.【分析】这里T为n阶矩阵，而22aT为数，直接通过EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有)1)((TTaEEAB=TTTTaaE11=TTTTaaE)(11=TTTaaE21=EaaET)121(,于是有0121aa，即0122aa，解得.1,21aa由于A0,故a=-1.6．已知X=AX+B,其中101111010A，350211B，求矩阵X.【详解】由X=AX+B,，有(E-A)X=B,于是BAEX1)(.而11201101011)(AE=11012312031，故BAEX1)(=11012312031.1102133502117．设44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA,41424344313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaaaaaB,00010100001010001P,10000010010000012P,其中A可逆，则1B等于(A)211PPA.(B)211PAP.(C)121APP.(D)112PAP.[]【详解】因为1P是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而2P是交换第二、三列后所得的初等矩阵，于是有12PAPB，从而121112111121)(APPAPPPAPB.故正确选项为(C).【评注】设E为n阶单位矩阵，))(,()),((),,(kijiEkiEjiE分别是将E交换第ji,两行、第i行乘以非零的k倍、将第i行的k倍加到第j行上去所得到的初等矩阵，则有),,(),(1jiEjiE))1(())((1kiEkiE，)).(,())(,(1kijiEkijiE对于列变换的情形有类似的结果。8．设n阶矩阵A与B等价,则必有(A)当)0(||aaA时,aB||.(B)当)0(||aaA时,aB||.(C)当0||A时,0||B.(D)当0||A时,0||B.[]【分析】对A通过一系列初等变换后得矩阵B,则A,B等价.因此矩阵A与B等价的充要条件是:)()(BrAr或存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B.【详解】因为当0||A时,nAr)(,又A与B等价,故nBr)(,即0||B,故选(D).9.设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（Ａ）1CPAP.（Ｂ）1CPAP.（Ｃ）TCPAP.（Ｄ）TCPAP.【】【详解】由题设可得110110110110010,010010010001001001001BACBA　　　，而1110010001P，则有1CPAP.故应选（Ｂ）.10.设矩阵A=33)(ija满足TAA*，其中*A是A的伴随矩阵，TA为A的转置矩阵.若131211,,aaa为三个相等的正数，则11a为(A)33.(B)3.(C)31.(D)3.[]【分析】题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.**EAAAAA.【详解】由TAA*及EAAAAA**，有3,2,1,,jiAaijij，其中ijA为ija的代数余子式，且032AAAEAAAT或1A而03211131312121111aAaAaAaA，于是1A，且.3311a故正确选项为(A).【评注】涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：.**EAAAAA11．设A是mn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为1r，则(A)1rr．(B)1rr．(C)1rr．(D)r与1r的关系由C而定．【】【分析】利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即得结果．【详解】由B=AC知1(),rArBAC秩又两边同时右乘1C，得1ABC，于是1()rBr秩，从而有1rr．12．设矩阵kkkkA111111111111且秩(A)=3，则k=.【分析】由A的秩为3知，A的行列式一定为零，从而可解出参数k.不过应当注意的是若由0A得到的参数不唯一，则应将参数代回去进行检验，以便确定哪一个为正确答案，因为使得0A只是必要条件而非充分条件。【详解】由题设秩(A)=3，知必有0)1)(3(1111111111113kkkkkk解得k=1或k=-3.显然k=1时，秩r(A)=1不符合题意，因此一定有k=-3.【评注】在做此类填空题时，排除k=1后可立即得k=-3，不必真的将k=-3代入进行检验。不过若先检验k=-3为正确的时，仍应检验k=1的情形，因为可能两个k值均是正确的。另外，本题也可通过初等变换化A为阶梯形进行分析。