基于导弹发射问题的数学模型

数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：我们的队号为：参赛队员：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人：数模组日期：2009年8月11日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：数学建模竞赛编号专用页评阅编号：评阅记录：评阅人评分备注1基于导弹发射问题的数学模型摘要本文主要讨论了导弹发射问题，同时通过建立合理的数学模型确定导弹能够成功击毁敌机的条件。运用多种模型及计算机软件模拟击毁敌机的过程。针对问题一：我们用微分方程的知识建立了二维平面上的导弹追逐模型。利用在任何时刻导弹的飞行方向指向敌机的位置得出微分方程和初值条件，并经过严格的数学公式推导和合理的假设，求解出导弹追踪敌机的轨迹方程。通过模型的求解，我们得出这样的结论：发射该种导弹击毁敌机的条件是：My，即MvvvNv212221.针对问题二：由于导弹是来自地面所以用微分方程的知识建立了三维空间上的导弹追逐模型，并把该三维空间上的导弹追逐问题转化为二维平面上的导弹追逐问题，运用问题1的解决方法求解得出II型地对空导弹追踪敌机的轨迹方程针对问题三：我们建立了比例制导模型和RBF-BP神经网络模型两个模型，其中比例制导模型运用matlab软件编程模拟导弹击毁敌机的整个过程，运行程序后输入N，M，高度H，敌机速度v等各个参数，程序会输出导弹能击毁敌机的最小速度，并且将这个过程表现在三维图像中。RBF-BP神经网络模型运用matlab软件建立RBF神经网络，通过多个曲线上的点，以及输入导弹速度V与N逼近出整条曲线,从而确定最短的M。然后利用多个（M,N）与V的组合数据建立BP神经网络，神经网络通过自组学习得到（M,N）与V的关系。接着利用几个检验数据进行精确度分析，得到分别0.0021，0.0013，0.0006，-0.0011，-0.0019，-0.0028的单位速度误差。最后只要输入相应的M,N就能得到最小的击毁敌机的速度。最后我们对上述模型分别进行分析评价，提出了一些可能的改进方向。关键字：matlab导弹发射微分方程模拟神经网络比例制导2一、问题重述1、某边防导弹基地的雷达发现位于其正东N公里处有一家来犯敌机正欲逃往正北方向M公里处的安全区。该基地的I型空对空追踪导弹和II型地对空追踪导弹均可针对目标随时自动调节追踪方向，截击敌机。但敌机一旦进入安全区后，由于电子干扰作用，I型、II型导弹均将失去追踪目标，无法将敌机击毁。假定雷达发现敌机时，该机正位于我防空指挥部正东N公里高空处，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里处的安全区逃窜。而在此时，基地即下令巡航飞机发射I型追踪导弹击毁敌机。在适当的假设下，确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件。2、如此时在基地即发射II型地对空追踪导弹去击毁敌机，假定敌机始终距地面高度为h公里向正北方向飞行，其他假定同情况1中所述，在试确定导弹追踪敌机的轨迹，并在适当的假定下，及发射该种导弹击毁敌机的条件；3、若导弹的速度可在发射前根据需要设定，导弹基地的位置和敌机的速度看做设定的常数，对于不同的N、M取值，编写计算机程序，利用计算得到的数据说明怎样的发射速度可确保击毁敌机。二、模型的假设假设1：导弹与敌机的速率恒定。假设2：导弹飞行的轨迹切线方向始终指向敌机。假设3：导弹飞行的轨迹和敌机飞行的高度始终在同一平面内。假设4：相对几百千米的路程导弹与敌机的长度可以忽略，均可看成物理质点。假设5：导弹在飞行过程中速度只存在方向上的变化，大小并没发生变化。假设6：导弹中安装有计算装置，导弹可以向目标发射电磁波，再通过计算装置实时计算导弹的位置。假设7：敌机始终在离地h处飞行，不存在竖直方向上的波动。3三、符号说明1v敌机匀速向正北方向运动的速度2v导弹飞行的速度h敌机飞行的高度M敌机最初点与安全区的距离N敌机最初点与导弹的距离KQ导弹在xy平面上的分速度KO导弹在z方向的分速度p学习周期动量系数kE第k个样本预测值与真实值间的误差eE总误差t期望值ijWBP神经网络权值i第i个节点的输入量的方差，li,,2,1ic第i个节点的基函数中心，li,,2,1i的分量，为具有径向对称的基函数，li,,2,1y1Ry为网络输出矢量XnTnRxxxX),,,(21为网络输入矢量4Tl),,,(21为隐含层输出W隐含层和输出层之间的l×1阶权值矩阵JY用来检验精确度的矩阵JJ理想矩阵traingd训练函数linear输出层的转移函数sigmoidtanBP神经网络第1层的转移韩式t输出矩阵Y目标向量X输入向量h神经元的最大数目TT导弹调整方向的时间周期N开始时刻导弹到敌机的距离M开始时刻敌机到安全区的距离V导弹的速度ic导弹在时刻iTT处的横坐标，，21iid导弹在时刻iTT处的纵坐标，，21iim敌机在时刻iTT处的纵坐标，，21ifV敌机的速度xiV导弹在时刻iTT处速度在横坐标方向的分量K样本个数5px输入样本，),,2,1(npmaxc选取中心之间的最大距离i聚类集合，),,2,1(liic聚类中心，),,2,1(liky网络输出，Kk,,2,1kX输入样本，Kk,,2,1kd输出样本，Kk,,2,1yiV导弹在时刻iTT处速度在纵坐标方向的分量i、j正整数j：神经元的等效误差四、问题的分析与模型的建立问题一：模型A(微分方程模型)]1[由于我方导弹发射点与敌机处于同一高度,故敌机的运行轨迹和导弹的运行轨迹是处于同一高度且在平行于地面的平面上,故可建立起平面直角坐标系.又由于导弹飞行方向始终指向敌机,即导弹飞行方向随时间的改变而改变,故可建立起微分方程并求解.（求解示意图如图-1）6图-1分别记敌机与导弹最开始所在处为A、B，以A为原点，AB所在直线为x轴，敌机逃窜方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。则A点坐标为（0，0），B点坐标为（-N，0），安全区与y轴交点C（0，M）。其中设敌机以匀速1v向正北方向（即y轴方向运动），导弹飞行的速度为2v且运动过程中速度大小不变。初始时刻：敌机位于原点（0，0），导弹位于B(-N,0)点。即：0)(,0)(NyNy在时刻t：导弹位于点P(x,y)，此时敌机在点C(0,tv1)，CP与曲线（轨迹）相交于点P，于是有以下等式：xytvdxdy1tan………………………….(1)对上式化简：tvydxdyx1………………………………..(2)两端对x求导：dxdtvdxydx122………………………………..(3)7由2vdtds，2)(1dxdydxds，s为x的增函数，得：22)(11dxdyvdxdsdsdtdxdt…………………..(4)将（4）式代入（3）式得：22122)(1dxdyvvdxydx……………………….(5)问题二：模型B（改进的微分方程模型）]2[表面上看,这是一个三维空间上的导弹追逐问题,但由于导弹的方向始终指向敌机，事实上我们可以把他简化为一个二维平面上的导弹追逐问题,即在由导弹和敌机最开始所在点及导弹追上敌机时所在点所组成的平面上。点线面之间的关系如下图-2所示：图-2如图-2，B点（-N，0）是地面导弹发射基地，D点(0,0,h)是敌机开始飞行地，A点(0,0,0)是敌机垂直映射到地面的投影，h是敌机飞行的高度，C点(0,M,h)是敌机飞8行线与安全区的交点。然后我们将该问题转化为在平面BDC上的问题，运用模型A的方法就行求解。此时考虑在平面BDC上，以D点为原点，BD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立与问题一种一样的模型。初始时刻：敌机位于原点（0，0），导弹位于点)0,(22Nh即0)(,0)(2222NhyNhy建立的微分方程为：22122)(1dxdyvvdxydx…………………………………..(5)余下情况和模型A相同。问题三：模型C（比例制导模型）]3[运用制导理论中的比例制导法，在空间直角坐标系中，令导弹每一时刻都计算与目标的坐标差错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，及距离r，这样任意时刻的仰角为：rzsin导弹所在位置坐标与x轴夹角xytan。令导弹下一时刻的坐标增量coscosKQdx错误!未找到引用源。，sincosKQdy错误!未找到引用源。，sinKOdz，KQ是导弹在xy平面上的分速度，KO是导弹在z方向的分速度]2[，在制导过程中，导弹的速度矢量的转动角速度与导弹和目标连线转动角速度成比例]7[。敌机的空间坐标随时间变化规律为(0,错误!未找到引用源。,H)。编制程序模拟导弹发射的过程，并计算出击中的最小速度。程序见附表-1模型D（RBF-BP神经网络模型）]4[9由模型A知:问题1的轨迹是一条曲线，表达式是常微分方程。为了简化需要，在RBF-BP模型中，采用欧拉折线法，用)())((iiixyxxxyy代替)(xyy，1,,1,0),,(1nixxxii，如下图:图-3建立直角坐标系，使敌机初始位置为(0,0),导弹初始位置为(-N,0),则安全区为(0,M)。假设导弹每经过时间TT调整一次方向使指向敌机，且速度大小不变，为V。则导弹初始速度方向为正x坐标轴，大小为V。用ic表示导弹在时刻iTT处的横坐标，id表示导弹在时刻iTT处的纵坐标，im表示敌机在时刻iTT处的纵坐标。用fV表示敌机的速度，令fV为0.005单位速度。用xiV表示导弹在时刻iTT处速度在横坐标方向的分量，用yiV表示导弹在时刻iTT处速度在纵坐标方向的分量。所以有:TTVccxiii1；TTVddyiii1；TTVmmfii1；22)(iiiixicdmcVV；22)()(iiiiiyicdmdmVV；00m；10Nc0；00d；VVx0；00yV如此通过迭代，可以解出在不同时刻上，导弹的位置。然后用MATLAB进行RBF网络学习算法，逼近曲线，通过代入导弹横坐标为0的条件，即可求出撞击位置。求解程序附表-2.重复以上方法，通过不同N与V可以求出不同的M，最后通过BP神经网络对(M,N)与V的关系进行网络训练。最后只要输入任意(M,N)组合就能得到相应的可确保击毁敌机的V。求解程序附表-3.五、模型的求解与结果的分析问题一：模型A(微分方程模型)]5[对于下式：22122)(1dxdyvvdxydx…………………………………….(5)初始条件：0)(,0)(NyNy……………………………………..(6)（5）式是不显含未知函数y的二阶方程.于是，令dxdyp，则dxdpdxyd22，代入（5），（6）式，得：110)(12Nppkdxdpx……………………………………………(7)其中21vvk.分离变量得：kkxNNxp21………………………………(8)即：0)(21NyxNNxdxdykk………………………………(9)直接积分得：211111112kNkNxkNxkNykk……………(10)当x=0时，导弹击中目标，此时21222121vvvNvkNky…………………………………………(11)这是敌