概率数理统计试题及答案

1应用数理统计试题题号12345678分值2020102020101．设15,,XX是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个1,2,,5iXi都服从0,1.N(1)试给出常数c,使得2212cXX服从2公布,并指出它的自由度;(2)试给出常数,d使得12222345dXXXXX服从t分布,并指出它的自由度.2．设总体X的密度函数为其他,010,)1();(xxxf其中1是未知参数,),,(1nXX是一样本,试求:(1)参数的矩估计量;(2)参数的最大似然估计量.3．有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4.根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？0.05.4．若总体X服从正态分布22.1,1N，样本nXXX,,,21来自总体X，要使样本均值X满足不等式95.01.19.0XP，求样本容量n最少应取多少？5．在某种产品表明进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x对应的一组数据如下：xi/s5101520304050607090120yi/um6101013161719232529462（1）预测腐蚀时间75s时，腐蚀深度的范围（1＝95%）；（2）若要求腐蚀深度在10～20um之间，问腐蚀时间应如何控制？6．简述方差分析,主成分分析的基本思想附：统计查表数据0.025(6)2.447t，0.025(7)2.365t，(1.96)0.975参考答案：1.设15,,XX是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个1,2,,5iXi都服从0,1.N(1)试给出常数c,使得2212cXX服从2公布,并指出它的自由度;(2)试给出常数,d使得12222345dXXXXX服从t分布,并指出它的自由度.解(1)由于2221212~0,1,~0,1,~2XNXNXX故因此1c,1222XX服从自由度为2的2分布.(2)由于~0,11,2,5iXNi且独立,则12~0,2XXN12~0,12XXN而22223453XXX因此122223452~3,3XXtXXX即122223456~32XXtXXX所以6,2d自由度为3.2.设总体X的密度函数为其他,010,)1();(xxxf其中1是未知参数,),,(1nXX是一样本,试求:3(1)参数的矩估计量;(2)参数的最大似然估计量.解(1)xxxfEXd);(10121d)1(xx由矩估计的定义知niiXnX112ˆ1ˆ从而)2ˆ(1ˆX于是的矩估计为XX112ˆ(2)似然函数为niniininiixxxfL111)1()1();()(niixLL1ln)1(ln)(ln令0ln1)(ln1niixnL得1lnˆ1niixn所以的最大似然估计量为1lnˆ1niixn3.有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4.根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？0.05.解00:23.8H，10:H依题意有24.2x，2131.62ns，2.274s4由于2未知，故选用01xTtnsn为统计量，故拒绝域为:0.0252162.4469Ttnt.而23.80.46542.2747xt，故tT.因此接受0H，即新药能够说明疗效.4．若总体X服从正态分布22.1,1N，样本nXXX,,,21来自总体X，要使样本均值X满足不等式95.01.19.0XP，求样本容量n最少应取多少？解由题设易知nNX44.1,1~，1,0~2.01NnX故nnXPXP2.01.02.011.19.095.0，15.02n即975.05.0n，3664.15,96.15.0nn因此样本容量n最少应取为16。5．在某种产品表明进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x对应的一组数据如下：xi/s5101520304050607090120yi/um610101316171923252946（1）求y关于x的回归方程；（2）若要求腐蚀深度在10～20um之间，问腐蚀时间应如何控制？解（1）先求出回归方程，由n＝11易算得36750,214,5102iiixyx13910,54222iiiyxy故11510111ixx11214111iyy又55.13104)11510(1136750222xnxlixx18.3988)11214)(11510(1113910yxnyxliixy73.1258)11214(1115422222ynyliyy304.055.13104/18.3988ˆxxxyllb536.511510304.011214ˆˆxbya故腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归直线为xy304.036.5ˆ（2）当要求腐蚀刻度在10～20um之间时，近似地有29.28)36.596.102.210(304.01)ˆˆ(121*uybx13.35)36.596.102.220(304.01)ˆˆ(121*Uybx即腐蚀时间应控制在28.28s到35.13s之间，就能得到10~20um之间的腐蚀刻度。