余弦定理

一、复习回顾：1、直角三角形中的边角关系：2.用勾股定理可以解什么样的三角形？等，所对的边，那么：是分别，中，在AcaAcbBAbacCBAcbaCABCRtsin,cos90,,,,,9002220CBAcab二、创设情境，提出问题CBA隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。实际问题转化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.CBAbca思考(1)当恰好测得，则=_______,(2)当A是任意角，怎么求边？090Aaa三、定理探究合作探究一：我们必修四学过向量有关知识，思考并回答下列问题CBAbca问题1、在中，利用向量加法或减法的三角形法则，可以得到=____________问题2、||=_______________问题3、由上式可得，=______________________问题4、你还能得到什么样的结论？ABCBCBC2aACBAABAC或AABACABACBCcos||||2222Abccbcos222Baccabcos2222Cabbaccos2222在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.三、定理探究在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.CBAbacD合作探究二:由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以可以添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作CD垂直于AB于D问题1、在Rt△ADC中,CD=_________,AD=_______,BD=__________问题2、在RtΔCBD中，a2=_____________问题3、你能得到什么样的结论？问题4、当A为直角或钝角时，你的结论还成立吗？Abccbcos222Baccabcos2222Cabbaccos2222AbsinAbcosAbccosCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbac三、定理探究，形成结论余弦定理和勾股定理之间有什么关系？余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情形余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab推论：利用余弦定理可以解决什么问题？1.已知两边及一角，求其他边和角2.已知三边，求三个角ABC已测得AC=8km,AB=5km,角A=600，求山脚BC的长度小试身手：22202cos60BCABACABAC解：125642584927BC例1：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?分析经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km),问题转化为在△OPQ中,已知OP=12km,OQ=13.5km,∠POQ=80O,求PQ的长.ABODCQP80O四、理论迁移解经过3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知答3时后两人相距约16.4km.四、理论迁移POQOQOPOQOPPQcos22202280cos5.131225.1312)(4.16km四、理论迁移例2、在ΔABC中，已知a=1，b＝2,c=，求最大内角。7思考：如果例2已知条件不变，你能判断ΔABC的形状吗？结论：ΔABC中，C为最大角，C是直角c2=a2+b2C是锐角________C是钝角________c2a2+b2c2a2+b20120五、课堂练习1.,::3:5:7,.ABCabc在中已知求这个三角形的最大内角2.在∆ABC中，A=600，b=4,c=7,求边a.3.若三条线段的长为5,6,7，则用这三条线段（）A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形370120B六、课堂小结（1）、余弦定理及变形2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab（2）、余弦定理可解决的解三角形问题（1）已知三边，求三个角（2）已知两边及一角，求其他元素1、知识小结六、课堂小结2、数学思想方法小结数形结合思想，转化与化归思想；几何法，向量法3、数学核心素养数学建模，逻辑推理，数学运算1、余弦定理还有别的证明方法吗？思考：2、如果已知三角形的两角及一边，还能用余弦定理解这个三角形吗？六、作业2、课本P54例2的问题与思考1、P52第3题13,4,6,coscoscosABCABCabccbAcaBabC、在中，角、、的对边分别为则的值为____________;222,,ABCacbab2.在中求角C.能力提升