第十八章--平行四边形复习

第十八章：平行四边形四边形平行四边形一般四边形一般的平行四边形特殊的平行四边形菱形矩形正方形平行四边形性质文字语言叙述几何符号表述①对边平行且相等②对角相等，邻角互补③对角线互相平分ABCDOAB=CDAD=BC∠A=∠C，∠B=∠DOA=OCOB=OD判别①两组对边分别平行的②两组对边分别相等的③一组对边平行且相等的④对角线互相平分的四边形∵在四边形ABCD中AB∥CDAD∥BCAB=CDAB∥CD∴四边形ABCD是ABCD在ABCD⑤两组对角相等的平行四边形1、在ABCD中，已知AB=8，AO=3，∠B=50°则CD=________，AC=________∠A=________，∠D=___________ABCDABCDO2、在ABCD中，∠A+∠C=150°那么∠A=__________，∠D=_________3、在ABCD中，∠A:∠B=5:4，那么∠B=__________，∠C=_________4、请在横线上写出结论，在括号里填理由∵四边形ABCD是平行四边形∴_________________()8130°675°50°105°80°100°平行四边形的特征(5个,详见前知识点)矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形性质对称性：是轴对称图形判别（2）有三个角都是直角的四边形（4）对角线互相平分且相等的四边形（1）有一个角是直角的平行四边形（3）对角线相等的平行四边形矩形ABCDO边：对边平行且相等．对角线：对角线相等且互相平分．角：四个角都是直角．ACDOB1、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=6，则AC=_______2、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是_____________3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边长为____________ACDOB4、请在横线上写出原因，在括号里填理由∵四边形ABCD是矩形∴____________________()123255、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是()A、对角相等B、对边相等C、对角线相等D、对角线互相平分6、把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到∠AME＝70o，则∠EMN＝（）A、45oB、50oC、55oD、60oNMFEDCBA7、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°ACC菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质判别⑴有一组邻边相等的平行四边形⑵四条边都相等的四边形⑶对角线互相垂直平分的四边形⑷对角线互相垂直的平行四边形菱形ABCDO边：四条边都相等，对边平行．对角线：对角线互相垂直平分．对称性：即是轴对称图形，又是中心对称图形．角：对角相等，邻角互补．ABCDO1、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6，则菱形的周长是_________，面积是___________2、如图，在菱形ABCD中，∠B=120°，则∠DAC=___________ABCDABCD3、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10，那么菱形的周长是_____________2两对角线之积菱形面积964030°404、菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是()A、对角相等B、对角线互相平分C、对边平行且相等D、对角线互相垂直5、如图，小强拿一张正方形的纸（图(1)），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪成两部分，再把所得的三角形的部分打开后的形状一定是（）A．一般的平行四边形B、菱形C、矩形D、正方形(1)(2)(3)DB正方形定义：一组邻边相等且有一个角是直角的四边形叫正方形性质判别⑴先判定四边形是矩形；再判定这个矩形是菱形⑵先判定四边形是菱形；再判定这个菱形是矩形ABCDO对称性：即是轴对称图形又是中心对称图形边：四条边都相等，对边平行．对角线：对角线相等且互相垂直平分．角：四个角都是直角．AODCB1、如图，已知正方形ABCD对角线交于点O，则∠BOC=________2、如图，以定点A、B为其中两个顶点作为正方形，一共可以作（）A、4个B、3个C、2个D、1个ABB90°三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。数学语言：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.∴DE∥BC,DE=BC21ABCDE平行四边形矩形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系三、特殊四边形的常用判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）两组对角（4）对角线互相平分；（5）一组对边平行且相等矩形（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形。菱形（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形。分别相等;（1）有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；巩固练习（一）判断题：1.平行四边形的对角线相等；（）2.矩形的四个角都相等；（）3.菱形的对角线互相垂直平分；（）4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形；（）5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（）6.对角线相等的四边形是矩形；（）（二）选择题：D2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）。(A)对角线互相平分。(B)对角线相等。（C）对角线平分一组对角。(D)对角线互相垂直。B3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（）(A)矩形。(B)正方形。(C)菱形。(D)平行四边形D4.内角和等于外角和的多边形是（）(A)三角形。(B)四边形。(C)五边形。(D)六边形。B5.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）(A)对角相等。(B)邻角互补。(C)对角互补。(D)内角和是360°。C(A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等；1.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（）。(C)一组对边相等，另一组对边也相等；(D)一组对边平行，另一组对边相等6.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）(A)一组对角相等。(B)两条对角线互相平分。(C)两条对角线互相垂直。(D)一对邻角的和为180°。B7.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）//(A)AB=CD,AD=BC。(B)BCAD。(C)AB//DC,AD//BC。(D)AB=CD，AD//BC。D例1如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：BE与DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明ABCDEF典型例题：证法1：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD，∠1=∠2在△BCE与△DAF中BC=AD∠1=∠2CE=AF∴△BCE≌△DAF∴BE=DF，∠3=∠4∴BE∥DF猜想：BE∥DF,BE=DF证法2：连接BD，交AC于点O，连接DE,BF∵四边形ABCD是平行四边形∴BO=OD,AO=CO又∵AF=CE∴AF-AO=CE-CO即EO=FO∴四边形BEDF是平行四边形∴BE=DF，BE∥DFABCDEFoDABCEF1234EMNDCBA∟∟1234例2如图，在⊿ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D，AN是三角形外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂足为点E.（1）求证：四边形为矩形；（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？证明你的结论。例3、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF。（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）当AB=AC时，试判断四边形BFCE的形状，并说明理由。典例1如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：BE与DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明ABCDEFABCDEF证法1：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD，∠1=∠2在△BCE与△DAF中BC=AD∠1=∠2CE=AF∴△BCE≌△DAF∴BE=DF，∠3=∠4∴BE∥DFABCDEF1234猜想：BE∥DF,BE=DF证法2：连接BD，交AC于点O，连接DE,BF∵四边形ABCD是平行四边形∴BO=OD,AO=CO又∵AF=CE∴AE=CF∴EO=FO∴四边形BEDF是平行四边形∴BE=DF，BE∥DFo典例2如图1，2所示，将一张长方形的纸片对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下，将△AOB完全展开．(1)画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；(2)若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出△AOB应满足的条件．(1)展开图如图所示，它是菱形．证明：由操作过程可知OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵OA⊥OB，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．(2)△AOB中，∠ABO=45°(或∠BAO=45°或OA=OB)．//典例3如图，在平行四边形ABCD中，ABCD，M、N在直线AC上，且MA=NC，问BM和DN存在怎样的关系？说明理由。BM//∵AB//DN，连接BD交AC于O，连接BN、DM。CD，∴四边形ABCD是平行四边形∴OB=OD，OA=OC，∵MA=NC∴OA+MA=OC+NC∴OM=ON又OB=OD∴四边形MBND是平行四边形，∴BM//DN证明：把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。典例4解：HG=HB。证法1：连结AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形∴∠B=∠G=90°由题意知AG=AB，又AH=AH∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）∴HG=HB证法2：连结GB∵四边形ABCD，AEFG都是正方形∴∠ABC=∠AGF=90°由题意知AB=AG∴∠AGB=∠ABG∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGB∴HG=HB认真想准确填1.两组对角分别相等的四边形是。2.对角线互相垂直、平分且相等的四边形是。3.四边形绕其对角线交点旋转90度后与原四边形重合，这个四边形是。4.用一根较长的绳子怎样检验方桌面是否为矩形？。平行四边形正方形正方形仔细观细心算1.菱形对角线长为4cm、8cm，其边长为cm，面积为cm²2.如图，延长正方形ABCD的边BC到E，使CE=CA，连接AE交DC于F，则∠E=，∠AFC=。AFEDCB1622.5°112.5°2√5典例5：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC于F，试证：EC=EF=FBABCDEF证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=900∠ACB=450∵∠AEF=900AB=AE，AF=AF∴△ABF≌△AFE（HL）∴BF=EF又∵∠FEC=900∴∠EFC=450∴EC=EF（等角对等边）∴BF=EF=EC典例6已知如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=6，BD=8，求菱形的高。ABCDOE解：作边BC上的高AE∵AC与BD垂直平分AC=6，BD=8∴CO=3，BO=4∴BC=5∵BC×AE=1/2AC×BD∴5×AE=1/2×6×8∴AE=4.8等式左右两边都表示这个菱形的面积。典例7如图,E为菱形ABCD边BC上的一点，AB=AE，AE交BD于F，∠DAE=2∠BAE(1)求证：EB=FA(2)求∠ABC的度数。ABCDEF(1)证明∵AD//BC,∴∠1=∠BAE1∵AE=AB,∴∠1=∠ABC∴∠ABC=∠DAE=2∠BAE∴∠BAE=∠DBE=∠ADB∴△ABE≌△DAF∴BE=AF(2)解：设∠BAE为x，则∠ABE=∠AEB=2x∴x+2x+2x=180°∴x=36°∴∠ABC=72°典例8、在正方形ABCD中，F是CD上的点，E是