5第五讲-功-质点的动能定理

第四章功和能及功能原理力对物体时间的累积效应——动量、冲量、动量定理力对物体空间的累积效应——功、动能定理第五讲功质点动能定理•基本概念：功动能•基本规律：动能定理功能原理•作业：练习3运动定律及其力学中的守恒定律1.掌握功的概念，能计算变力的功。2.掌握动能定理，掌握运用定理分析问题的思路和方法。3.掌握保守力的概念。教学基本要求本节内容提纲一.功动能动能定理二.保守力1、恒力直线运动的功：cos||AFrrΔFθFFrΔ力对质点所作的功等于力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。一、功:4-1功动能定理𝐴0(0≤𝜃𝜋2)=0(𝜃=𝜋2)0(𝜋2𝜃≤𝜋)功的定义：即为力与质点位移的点积。由a移动到b，力的总功等于各段上元功的代数和，cos||Fdr2、变力曲线运动的功baAdAFdrcosbaFds质点在变力作用下作曲线运动：从𝒂→𝒃过程中：𝑭的大小和方向都变FsdbaPsd=rdrdorrdAFdr微元法：将分成许多段微小的位移，每一微小的位移中的力看成恒力（大小、方向均不变），对任意的abdrdr元功：说明：1）功是标量cos||dAFdrFdrbaAdAFdrcosbaFds2）功是过程量，是力对空间的积累作用。3）在直角坐标系中：bbbxyzaaaFdxFdyFdz()()bxyzaFiFjFkdxidyjdzkbabaAFdrrdFbaPsd（焦耳J）1F3F2F4）在自然坐标中：babaAFdrbaFds5）合力的功AA12baAFdr()baFFdr1212bbaaFdrFdr12nFFFF=分力的功的代数和rdFbaPsdAPt平均功率：瞬时功率：ddAtcosvF例1：某质点沿x轴作直线运动，受力为求：质点从移动到的过程中该力所做的功。,)54(NixF00xmx10解：()45xidxi100290)54(Jdxx二、功率（w）dAFdrlim0tAPtFvAFdr解：AFdrdvFmdt33036tdtvt00Fdvdtmt2012tvdt3t2例2：质量为2kg的质点在力(N)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求：前三秒内该力所作的功，及t=2s时的功率。itF12＝12tdx2123288WttPFv320123Attdt4309729tJ2dxv3tdt(12ti)dxi2dx3tdt三、动能定理1.质点的动能定理221122bammvv动能（状态函数）22k122pEmmvdFmdtv,baFds动能定理kkbkaAEEE即：合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。rdFbaP设质量为m的质点在合力𝑭的作用下，由𝒂→𝒃过程中𝑭做功：baFdrbaAFdrbamdvvvvbadmdsdtvm说明：222111,22即：bkaAEFdrmvmv（1）质点所受合力的功等于质点动能的增量。功和动能具有相同单位，焦耳（J）（2）功与动能通过动能定理相联系，通过做功，质点和外界进行能量交换.（3）适用惯性系A-合力做的功，力对空间的积累的过程（过程量）𝑬𝒌-质点动能，描述质点的运动状态（状态量）合力做正功，合力不做功，合力做负功，物体动能增加物体动能不变物体动能减小AΔKE00ΔKE00ΔKE002.质点系的动能定理内力可以改变质点系的总动能。注意对质点系，有：对第个质点，有：i2022121iiiiiivmvmAA内外2022121iiiiivmvmA2022121iiiiiivmvmAA内外质点系动能定理0kkiiEEAA内外kEAA内外即：外力的功与内力的功的代数和，等于质点系总动能的增量。12f21f1F2F1m2m1m2mimexiFiniF解：1）-研究对象m0TAcosmgdssinαmgl0212mAAAmgTαglυsin2=∴例3：质量为m的小球系在线的一端，线的另一端固定在墙壁钉子上，线长为l。拉动小球使线保持水平静止后松手。求：线摆下角时小球的速率和线中的张力。gmdrθdslmTdθ2)建坐标圆周运动的角坐标3）受力分析T、mg4）列方程由质点的动能定理0αcosθθmgld2201122υυAmmmgAmgdr312(m)2xt例4：一质量为m=2kg的物体按作直线运动。求：物体由x1=2m运动到x2=6m的过程中外力做的功。解：方法一：动能定理232dxtdtt=0，x1=2m，v0=0t=2s，x2=6m，v=6m/s2201136J22Ammvv方法二：功的定义21,xxAFdx3t2203662Atdxttdt6FmatFmaddtv22dxadt212201122xxAFdxmm4-2、保守力及其功1.万有引力的功一、常见力的功mab设质量为m的质点在质量为M的固定质点的万有引力场中运动,𝐛→𝒓𝒃,𝐚→𝒓𝒂,取M为坐标原点m从𝒂→𝒃分析：m从𝒂→𝒃的过程中,2MmFGrrM对m的引力为变力微元法元功：2MmGdrrFdrcos(πθ)FdrcosθFdrdAFdrcosθcos(πθ)cos(πθ)drdrθdrFarbrMrdrmrrarbdrFMab元功：2MmGdrr()()abMmMmGGrr𝒂→𝒃:()barrMmGr2barrMmGdrrabAdA11()baGMmrrdAFdr说明：万有引力做功只与质点的起始和终了位置有关，与路径无关。2.重力的功质量为m的物体在地球表面附近沿任意路径运动元功：在重力作用下，物体发生位移时：drmgkdzdrzazbbamyxz0Fmgk()()xyzFiFjFkdxidyjdzkdAFdrmgdz𝒂→𝒃:bazzmgdzabAdA()abmgzz说明：重力做功只与质点的起始和终了位置有关，与所经过的路径无关kxaxbxx03.弹力的功m从𝒙𝒂→𝒙𝒃,变力微元法：元功：dAFdr()()kxidxikxdx𝒙𝒂→𝒙𝒃:abAdAabkxkx221122baxxkxdx说明：弹力所做的功只由弹簧起始和终了位置（𝒙𝒂,𝒙𝒃）有关，与弹簧形变过程无关。弹力Fkxi取质点平衡位置（弹簧未形变）为坐标原点，物体运动的直线路径为x，在外力下，FF4.摩擦力做的功：l2abl1μfmg恒力μmgabμcosπmgabΔAFr:l1μfmg:l2方向变，变力μmgdlμcosπdAmgdlμmgabμbamgdlbaAdA说明：llFdrFdr12摩擦力做功与路径有关粗糙平面上保守力：力所作的功与路径无关，仅决定于质点的始末位置。二、保守力和非保守力aDbaCbrFrFddabCD非保守力:力所作的功与路径有关。（例如摩擦力、爆炸力等）保守力做功特点:0drFW