高中数学必修四向量练习题(附解析)

第五章第二节一、选择题1．(文)(2014·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A．－1B．1C．－2D．2[答案]A[解析]设a＝λb(λ0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ0，∴m＝－1.[点评]1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a＝(x1，y1)，b＝(x1，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当a，b都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，同时还要注意a∥b与x1x2＝y1y2不等价．2．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线．要注意向量平行与直线平行是有区别的．(理)(2013·荆州质检)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝()A．－2B．2C．－12D．12[答案]C[解析]由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得mn＝－12.2．(2014·山东青岛期中)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a|a|＋b|b|＝0成立的是()A．a＝－13bB．a∥bC．a＝2bD．a⊥b[答案]A[解析]由题意得a|a|＝－b|b|，而a|a|表示与a同向的单位向量，－b|b|表示与b反向的单位向量，则a与b反向．而当a＝－13b时，a与b反向，可推出题中条件．易知B，C，D都不正确，故选A.[警示]由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量a|a|，要知道它的模长为1，方向同a的方向；(2)对于任意非零向量a来说，都有两个单位向量，一个与a同向，另一个与a反向；(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．3．(2015·广州执信中学期中)在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→＝()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)[答案]B[解析]由条件知，PC→＝2PQ→－PA→＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)，∵BP→＝2PC→＝(－4,14)，∴BC→＝BP→＋PC→＝(－6,21)．4．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形[答案]C[解析]∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2BC→，∴四边形ABCD为梯形．5．(文)(2014·德州模拟)设OB→＝xOA→＋yOC→，x，y∈R且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则x＋y＝()A．－1B．1C．0D．2[答案]B[解析]如图，设AB→＝λAC→，则OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋λAC→＝OA→＋λ(OC→－OA→)＝OA→＋λOC→－λOA→＝(1－λ)OA→＋λOC→∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.[点评]用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．(理)(2013·安庆二模)已知a，b是不共线的两个向量，AB→＝xa＋b，AC→＝a＋yb(x，y∈R)，若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是()A．直线B．双曲线C．圆D．椭圆[答案]B[解析]∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λAC→.则xa＋b＝λ(a＋yb)⇒x＝λ，1＝λy⇒xy＝1，故选B.6．(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝()A.OH→B．OG→C.EO→D．FO→[答案]D[解析]由平行四边形法则和图示可知，选D.二、填空题7．已知a＝(2，－3)，b＝(sinα，cos2α)，α∈－π2，π2，若a∥b，则tanα＝________.[答案]－33[解析]∵a∥b，∴sinα2＝cos2α－3，∴2cos2α＝－3sinα，∴2sin2α－3sinα－2＝0，∵|sinα|≤1，∴sinα＝－12，∵α∈－π2，π2，∴cosα＝32，∴tanα＝－33.8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝________.[答案]12[分析]由B，H，C三点共线可用向量AB→，AC→来表示AH→.[解析]由B，H，C三点共线，可令AH→＝xAB→＋(1－x)AC→，又M是AH的中点，所以AM→＝12AH→＝12xAB→＋12(1－x)·AC→，又AM→＝λAB→＋μAC→.所以λ＋μ＝12x＋12(1－x)＝12.[点评]应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．(理)(2014·河北二调)在△ABC中，AC＝1，AB＝2，A＝2π3，过点A作AP⊥BC于点P，且AP→＝λAB→＋μAC→，则λμ＝________.[答案]1049[解析]由题意知AB→·AC→＝2×1×cos2π3＝－1，∵AP⊥BC，∴AP→·BC→＝0，即(λAB→＋μAC→)·(AC→－AB→)＝0，∴(λ－μ)AB→·AC→－λAB→2＋μAC→2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，①∵P，B，C三点共线，∴λ＋μ＝1，②由①②联立解得λ＝27μ＝57，即λμ＝27×57＝1049.9．(文)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE→＝αAB→，AF→＝βAC→，则1α＋1β＝______.[答案]3[解析]连结AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AG→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，设EG→＝λGF→，∴AG→－AE→＝λ(AF→－AG→)，∴AG→＝11＋λAE→＋λ1＋λAF→，∴13AB→＋13AC→＝α1＋λAB→＋λβ1＋λAC→，∴α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.(理)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB、AC于M、N两点，若AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，则4x＋y的最小值为________．[答案]94[解析]如图所示，由题意知AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝12AD→，又M，E，N三点共线，所以AE→＝λAM→＋(1－λ)AN→(其中0λ1)，又AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，所以14(AB→＋AC→)＝λxAB→＋(1－λ)yAC→，因此有4λx＝1，41－λy＝1，解得x＝14λ，y＝141－λ，令1λ＝t，∴t1，则4x＋y＝1λ＋141－λ＝t＋t4t－1＝(t－1)＋14t－1＋54≥94，当且仅当t＝32，即λ＝23时取得等号．三、解答题10．(文)已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP→＝OA→＋tOB→，求(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．[解析](1)OP→＝OA→＋tOB→＝(t＋2,3t－1)．若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝13；若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；若点P在第四象限，则t＋203t－10，∴－2t13.(2)OA→＝(2，－1)，PB→＝(－t－1，－3t＋4)．若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→.∴－t－1＝2－3t＋4＝－1无解．∴四边形OABP不可能为平行四边形．同理可知，当t＝1时，四边形OAPB为平行四边形，当t＝－1时，四边形OPAB为平行四边形．(理)已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，设m＝a＋tb(t为实数)．(1)若α＝π4，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为π4，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．[解析](1)∵α＝π4，∴b＝(22，22)，a·b＝322，∴|m|＝a＋tb2＝5＋t2＋2ta·b＝t2＋32t＋5＝t＋3222＋12，∴当t＝－322时，|m|取到最小值，最小值为22.(2)由条件得cosπ4＝a－b·a＋tb|a－b||a＋tb|，∵|a－b|＝a－b2＝6，|a＋tb|＝a＋tb2＝5＋t2，(a－b)·(a＋tb)＝5－t，∴5－t65＋t2＝22，且t5∴t2＋5t－5＝0，∴存在t＝－5±352满足条件.一、选择题11．平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足(AB→－BC→)·(AD→－CD→)＝0，则三角形ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形[答案]B[解析](AB→－BC→)·(AD→－CD→)＝(AB→－BC→)·(AD→＋DC→)＝(AB→－BC→)·AC→＝(AB→－BC→)·(AB→＋BC→)＝|AB→|2－|BC→|2＝0，故|AB→|＝|BC→|，即△ABC是等腰三角形．12．如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为()A.12，12B．23，23C.13，13D．23，12[答案]C[解析]设CF→＝λCD→，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴BE→＝BA→＋AE→＝－a＋12b，BF→＝BC→＋CF→＝(b－a)＋λ(12a－b)＝12λ－1a＋(1－λ)b，∵BE→与BF→共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF→＝AC→＋CF→＝b＋23CD→＝b＋2312a－b＝13a＋13b，故x＝13，y＝13.13．已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP→＝xAB→＋yAD→，则“0≤x≤12，0≤y≤23”的概率是()A.13B．23C.14D．12[答案]A[解析]根据平面向量基本定理，点P只要在如图所示的区域AB1C1D1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.14．(文)(2014·浙江十校联考)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．b⊥(a－b)C．a⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)[答案]B[解析]由于d(a，b)＝|a－b|，所以对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，由图示可知，向量a－tb的模的最小值是a－b的模，故a－b与b垂直，故选B.(理)(2014·浙江)记max{x，y}＝x，x≥yy，xy，min{x，y}＝y，x≥yx，xy，设a，b为平面向量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|