第三节--B-样条曲线

1、第三节B-样条曲线2020/5/171本节内容：B-样条曲线定义B-样条曲线性质B-样条曲线的离散生成有理B-样条曲线分段参数多项式曲线分析•Hermit曲线–分段插值曲线–全局控制曲线–多项式次数与顶点数相关•Bezier曲线–全局控制曲线–多项式次数与顶点数相关–拼接要求不易满足局限性：全局控制2020/5/172B-样条曲线概念2020/5/173niikitNPtP0)()(B-样条曲线B-样条基函数iP控制多边形控制顶点控制顶点作用的局部化•０次(1阶)曲线其它0),[1)(11,iiittttN2020/5/1740次基函数：t１次？２次？…？titi+1续•1次曲线（2阶）2020/5/1752次基函数：Ni,2(t)t2次？3次？…，k+1次基函数？的图形2,iN)(2,tNiB-样条基函数的定义•deBoor-Cox定义：(约定：0/0=0)2020/5/176样条基函数次）阶（上的称为，则如下的轴上的节点分割给定参数BkkTNiTtknkikniknt1,,0,nitNt。

2、ttttNtttttNttttNkiikikikiikiikiiii,...,1,0)()()(0),[1)(1,111,1,11,，其它关于递推定义的系数nitNtttttNtttttNkiikikikiikiiki,...,1,0)()()(,11,11,，2020/5/177ttiti+1ti+k-1ti+kttiti+1ti+k-1tti+1ti+k-1ti+k基函数的影响范围2020/5/178[t0,t1][t1,t2][t2,t3][t3,t4][t4,t5]Ni,k(t)的支撑区间为：[ti,ti+k]支撑区间…2020/5/179曲线段及控制点2020/5/1710[t0,t1][t1,t2][t2,t3][t3,t4][t4,t5][t4,t5]B-样条曲线的定义2020/5/1711ninkkiiiikniknniittttNPtPBkkttiTPnt011,10,0],[)()(1)(1，样条曲线：次）阶（确定如下的及参数节点向量个控制点B-样条曲线示例共n-k+2段1阶B-样条基函数2020/5/。

3、1712K=1时的基函数其它0),[1)(11,iiittttN者的支撑区间。上有定义，称后者为前在区间11,,)(iiitttN)(1,tNi的图形)(1,tNiK=1时定义的曲线示例2020/5/1713niiitNPtP01)()(1tit1nt0P1PiPnP2阶B-样条基函数•K=2时的基函数2020/5/1714),[)()()(21,11221,12,iiiiiiiiiiittttNtttttNtttttN其它0),[),[2112211iiiiiiiiiitttttttttttttt者的支撑区间。上有定义，称后者为前在区间kiikitttN,)(,的图形2,iN)(2,tNi2020/5/1715K=２时定义的曲线示例niiitNPtP02,)()(0t1tit1nt0P1PiPnP2t的图形2,iN)(2,tNi2nt3阶B-样条基函数•K=3时的基函数2020/5/1716),[)()()(32,11332,23,。

4、iiiiiiiiiiittttNtttttNtttttN其它0),[)(),[)()(),[)(322,1133212,11332,212,2iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittttNttttttttNtttttNttttttttNtttt续前页：2020/5/1717时：当),[1iittt)()(2,23,tNtttttNiiiii))()((1,11221,12tNtttttNttttttttiiiiiiiiiiiiiiiiitttttttt12续前页：2020/5/1718)()()(,[2,11332,23,21tNtttttNtttttNtttiiiiiiiiiii）时：当))()(())()((1,22331,11211331,11221,12tNtttttNtttttttttNtttttNttttttttiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii。

5、1211331222iiiiiiiiiiiitttttttttttttttt续前页：2020/5/1719)()(),[2,11333,32tNtttttNtttiiiiiii时：当))()((1,22331,1121133tNtttttNttttttttiiiiiiiiiii233133iiiiiitttttttt2020/5/1720其它0),[),[),[)(322331332112113312221123,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttN者的支撑区间。上有定义，称后者为前在区间kiikitttN,)(,3阶B-样条基函数图形2020/5/1721)(3,tNi的图形)(3,tNi3阶B样条曲线示例20。

6、20/5/17221nt2tT=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]知其然，知其所以然…•阶数与次数•顶点数•节点矢量与定义区间•段数•控制点及其影响域2020/5/1723上节要点回顾•Bezier曲线–Bernstain基函数–Bezier曲线定义及性质–有理Bezier曲线•B-样条曲线–B-样条基函数（节点矢量）–B-样条曲线定义•阶数/次数•顶点数•定义区间•段数nitNtttttNtttttNttttNkiikikikiikiikiiii,...,1,0)()()(0),[1)(1,111,1,11,，其它ninkkiittttNPtP011,],[)()(，2020/5/1724B-样条基函数的性质•局部性•权性•连续性2020/5/1725B-样条基函数的局部性2020/5/1726上为零。上取正值，在其它区间只在区间),[)(,kiikitttN在每一个区间上至多只有k个基函数非零，它们是：)(),...,(),(,,2,1tNtNtNkikkikki分段多项式从而在整个参数轴。

7、上是的多项式上都是次数不高于在每个区间1),[)(,ktttNkiikiB-样条基函数的权性2020/5/1727],[1)(110,nknikittttN上权性成立。证明：在任意参数区间],[),[111nkjjttttnijkjikikikijjtNtNtNttt01,,,1)()()(],[的局部性得到：，由上式右端根据递推公式展开并化简得到：1)()(1,1,tNtNjjkjikiB-样条基函数的连续性2020/5/1728次参数连续。重节点处至少为在lkltNki1)(,11,111,,)()()1()('ikikiikikikitttNtttNktN问题：3阶B样条曲线生成•已知6个控制顶点，请定义出节点矢量均匀的2次B样条曲线，并回答以下问题。1.定义区间是什么?2.曲线分为几段？3.给出第二段曲线的表达式2020/5/1729B-样条曲线的分类根据节点矢量的不同形式分类均匀B样条曲线准均匀B样条曲线分段Bezier曲线非均匀B样条曲线2020/5/1730均匀B-样条曲线•均。

8、匀节点矢量：所有节点区间长度为大于0的常数•均匀B-样条基：在均匀节点矢量上定义的B-样条基•均匀B-样条曲线：在均匀B-样条基上定义的曲线2020/5/1731例：三次均匀B样条曲线（1）2020/5/1732样条曲线次均匀其上可定义满足：参数节点向量BnittiTiinint3),3,...,1,0(01404,]1,3[)()(:0104,0nttNPtPBtniii，样条曲线构造三次均匀，常令：三次均匀B样条曲线（2）2020/5/1733nitNktkitNkittNtNkikikii,...,1,0)(1)(1)()(1,11,,4,，：公式计算根据如下的基函数递推其它此时：0)1,[1)(}4,...,1,0{1,4,iittNnTin2020/5/1734三次均匀B样条曲线（3）)(4,0tN计算)()(,0,itNtNkki注：基函数的平移性三次均匀B样条曲线（4）jjiijjiiijjitNPtNPtPnjtt34,034,1)()()()3)(,[上的曲线。

9、段为：则，在32123)()()(1100033313604133161],,,[jtjtjtPPPPjjjj展开为矩阵形式得：2020/5/1736P(3)P(4)P(5)练习：•推导出区间上3次均匀B样条曲线的矩阵表达式。2020/5/1737],[1jjtt准均匀B-样条曲线（1）•节点矢量：在首末端点处有k次重复度，中间节点区间长度为大于0的常数，即：2020/5/1738}2,...,2,2,1,...,2,1,0,...,0,0{个个kkknknknkn准均匀B样条曲线（2）•端点位置矢量的计算2020/5/17390304,)0()0(PNPPiii0)0(0)0(0)0(1)0(4,34,24,14,0NNNN，，，特点：曲线首末点与控制顶点重合３次均匀B－样条示例2020/5/1740３次准均匀B－样条示例2020/5/1741B样条曲线到分段Bezier曲线的转换•节点矢量：两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-12020/5。

10、/1742},...,,,1,...,1,1,...,2,1,...,1,1,0,...,0,0{11个个个个kkkkmmmmmm'(1)kmn注：基函数：以上节点矢量定义分段的Bernstein基函数分段Bezier曲线•各曲线段相对独立性：移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响•Bezier曲线的算法都可以原封不动地采用•其它类型的B样条曲线可通过插入节点的方法转换成分段Bezier曲线类型•缺点：增加了定义曲线的数据，至多增加k-1倍2020/5/1743非均匀B-样条曲线•节点矢量：节点序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1•非均匀B样条基：上述节点矢量上的基函数2020/5/1744B-样条曲线示例2020/5/1745B-样条曲线的性质局部性凸包性分段参数多项式连续性几何及仿射不变性2020/5/1746B-样条曲线的性质（1）•局部性2020/5/1747个）控制顶点有关个（共只与第上的部分线段在参数区间曲线kikikiniktttPii,...,2,1)1(,)。